S51S43S34 2S12S101232244816480
由于出现全零行，故用S2行系数构成辅助多项式。 f(s)=12S2+48
S5S4S3S2S1S01341224481232244816480f'(s)=24S
第一列元素全为正，说明特征方程式没有正根，而由辅助方程式， 12S2+48=0 S=j2和S=-j2
这就是系统特征方程式的两对虚根，因此系统边界稳定。 (2) 劳斯阵列：
1235S512025S43S31638030 2
25S50S10由于出现全零行，故用S2行系数构成辅助多项式 f(s)=5S2+25 f'(s)=10S
1235S512025S43S31638030 2
525S0S110S025
第一列元素全为正，说明特征方程式没有正根，而由辅助方程式 5S2+25＝0
S=j 5和S=-j 5 这就是系统特征方程式的两对虚根，因此系统边界稳定。
4-5 调节系统如图所示,G1(s)=K,G2(s)=1/s(0.1s+1)(0.2s+1)
R(S)-G1（S）G2（S）C(S)
习题4-5图
（1） 确定系统稳定时的K值范围；
（2） 如果要求闭环系统的根全部位于S??1垂线之左，K值范围应取多大？ 答案: (1)系统特征方程 1?G1(s)G2(s)?1? s(s?10)(s?5)?50K?0 s3?15s2?50s?50K?0 劳斯阵列：
S31155050KK?0，即
s(0.1s?1)(0.2s?1)
S2110KS50?3S050K
系统稳定，则需第一列元素全为正，50? (2) 用s?s1?1代入特征方程中，可得
(s1?1)3?15(s1?1)2?50(s1?1)?50K?0 s13?12s12?23s1?34?50K?0 S13S12110110K?0,50K?0所以0?K?15。 31122350K?34310?50KS12S50K?34
要求闭环系统的根全部位于S??1垂线之左，则
0.68?K?6.2。
310?50K?0,50K?34?0，即 124-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s)?K(0.5S?0.1)
S(S?1)(0.5S2?S?1) 试确定系统稳定时的K值范围。 答案: (1)系统特征方程 1?G(s)?1?即；S(S?1)(0.5S2?S?1)+K(0.5S?1)＝0
S4S3S20.5s4?1.5s3?2s2?s?0.5Ks?1K?0
K(0.5S?0.1)＝0 2S(S?1)(0.5S?S?1)0.51.5(2.5?0.25k)21?0.5k111.51S(1?0.5k)?2.25(2.5?0.25k)S01
系统稳定，则需第一列元素全为正，2.5?0.25k1.5 ?0 (1?0.5k)?2.25(2.5?0.25k)＞0
即 0????5?5
第五章系统的频域分析
5-1 求输入信号为sin(t?30?)的单位反馈系统的稳态输出，已知系统的开环传递函数为：
Gk(s)?10 s?1解：闭环系统的传递函数为：
G(s)=10/(s+11) 频率特性
G(jw)=10/(jw+11)
由w=1，得 G(j1)=10/(j1+11)= 故
o101??tg?1?0.905??5.19o11122
ooC（t）=0.905sin(t+30?5?19)=0.905sin(t+24.81)
5-2 自动调节系统的传递函数为
G(s)?k(1?T1s)(1?T2s)
写出系统的幅频特性和相频特性的表达式。 解：G(j?)??1?1kk?e?j(tg?T1?tg?T2)
(1?j?T1)(1?j?T2)1??2T121??2T22 幅频特性M(?)?k1??T2211??T222
相频特性?(?)??(tg?1?T1?tg?1?T2)
5-3 已知各系统的开环传递函数，试用奈魁斯特判断各闭环系统的稳定性。
1) Gk(s)?2) Gk(s)?k(T1s?1)(T2s?1)
k(T1s?1)(T2s?1)(T3s?1)解：1) T1、T2为正 所以求出的开环特征根均落在S平面的左半部，开环系统稳定。观察图知没过（－1，j0）点，则系统稳定。
2) T1、T2、T3均为正 所以求出的开环特征根均落在S平面的左半部，开环系统稳定。观察图知过（－1，j0）点，则系统不稳定，且有两个正实数根。 5-4 已知各系统的开环传递函数，试图用奈魁斯特判断各闭环系统的稳定性。
1)Gk(s)?2)
4(6s?1)3
Gk(s)?1e?2s (6s?1)解，1）三个开环特征根均为－1/6，所以开环系统稳定
G44k(j?)?(1?j6?)3??e?j(3tg?16?)?
1?36?2?3令M(?)?4?1?36?2?3?1
得?＝36rad/s 此时得?(?)= -?
考虑到随?值增加，开环系统频率特性的模单调减小，在模为1时，相角为-?，所以曲线过
（－1，j0）点,系统边界稳定。 2），
5-5 调节系统如图画5-26所示，试确定系统边界稳定时K的数值。 解：系统开环传递函数为
G?2sk(s)?K(1?5s)3e 3个开环特征根均为－1/5，所以开环系统稳定。 开环系统频率特性为
?Ke?j2?GKe?j(2??3tg?15?)k(j?)(1?j5?)3??1?25?2?3
系统边界稳定时，
M(?)?K?
1?25?2?3?1?(?)??(2??3tg?15?)???