高等数学（下册）考试试卷（一）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、 z=loga(x?y)(a?0)的定义域为D= 。 2、二重积分
22ln(x?y)dxdy的符号为 。 ??22|x|?|y|?13、由曲线y?lnx及直线x?y?e?1，y?1所围图形的面积用二重积分表示
为 ，其值为 。 4、设曲线L的参数方程表示为??x??(t)?y??(t) (??x??),则弧长元素ds? 。
5、设曲面∑为x2?y2?9介于z?0及z?3间的部分的外侧，则
（x???2?y2?1)ds? 。
6、微分方程
dyyy??tan的通解为 。 dxxx7、方程y(4)?4y?0的通解为 。 8、级数
1的和为 。 ?n?1n(n?1)?二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、二元函数z?f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（ ） （A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；
（B）fx?(x,y)，fy?(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在；
22（C） ?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y当(?x)?(?y)?0时，是无穷小；
（D）lim?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y(?x)?(?y)22?x?0?0。
?y?0xy?2u?2u2、设u?yf()?xf(),其中f具有二阶连续导数，则x2?y2等于（ ）
yx?x?y（A）x?y； （B）x； (C)y； (D)0 。 3、设?：x?y?z?1,z?0,则三重积分I???20222???zdV等于（ ）
?（A）4
?20d??d??r3sin?cos?dr；
01?（B）
??20d??d??r2sin?dr；
00?1（C）
2?0?20d??d??r3sin?cos?dr；
01（D）
?2?0d??d??r3sin?cos?dr。
00?14、球面x2?y2?z2?4a2与柱面x2?y2?2ax所围成的立体体积V=（ ）
? （A）4?20d??d??d??2acos?04a2?r2dr；
? （B）4?202acos?0r4a2?r2dr；
? （C）8??202acos?0r4a2?r2dr；
? （D）
?2?d??22acos?0r4a2?r2dr。
5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则
?Pdx?Qdy?(L)
（A）
??(D?P?Q?Q?P?)dxdy； （B）??(?)dxdy； ?y?x?y?xD?P?Q?Q?P?)dxdy； （D）??(?)dxdy。 ?x?y?x?yD （C）
??(D6、下列说法中错误的是（ ）
（A） 方程xy????2y???xy?0是三阶微分方程； （B） 方程y2dydy?x?ysinx是一阶微分方程； dxdx23222（C） 方程(x?2xy)dx?(y?3xy)dy?0是全微分方程； （D） 方程
dy12y?x?是伯努利方程。 dx2x7、已知曲线y?y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2x?y?6?0平行，而y(x) 满足微分方程y???2y??5y?0，则曲线的方程为y?（ ）
（A）?esin2x； （B）ex(sin2x?cos2x)； （C）ex(cos2x?sin2x)； （D）esin2x。 8、设limnun?0 , 则
n??xx?un?1?n（ ）
（A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）设f,g均为连续可微函数。u?f(x,xy),v?g(x?xy)，
求
?u?u,。 ?x?y2、（8分）设u(x,t)??2x?tx?tf(z)dz，求
?u?u,。 ?x?t四、求解下列问题（共计15分）。
1、计算I?2、计算I??20（7分） dx?e?ydy。
x22222?，其中是由?y?2z,z?1及z?2所围成的空间(x?y)dVx????闭区域（8分）。 五、（13分）计算I??L?xdy?ydx，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过
x2?y2原点O(0,0)的封闭曲线的逆时针方向。
六、（9分）设对任意x,y,f(x)满足方程f(x?y)?f(x)?f(y)，且f?(0)存在，求f(x)。
1?f(x)f(y)(x?2)2n?1七、（8分）求级数?(?1)的收敛区间。
2n?1n?1?n高等数学（下册）考试试卷（二）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z，则
?z?z?? 。 ?x?y2、limy?03?9?xy? 。
x?0xy3、设I??20dx?2xxf(x,y)dy，交换积分次序后，I? 。
4、设f(u)为可微函数，且f(0)?0,则lim?t?01?t3x2?y2?t2??f(x2?y2)d?? 。
5、设L为取正向的圆周x2?y2?4，则曲线积分
?Ly(yex?1)dx?(2yex?x)dy? 。
2?2?2?6、设A?(x?yz)i?(y?xz)j?(z?xy)k，则divA? 。 7、通解为y?c1ex?c2e?2x的微分方程是 。 8、设f(x)????1,?1,???x?0，则它的Fourier展开式中的an? 。
0?x??二、选择题（每小题2分，共计16分）。
?xy2,?241、设函数f(x,y)??x?y?0,?x2?y2?0x2?y2?0 ,则在点（0，0）处（ ）
（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 2、设u(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足
?2u?2u?2u?0 及 2? 2?0，
?x?x?y?y则（ ）
（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；
（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； （D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。 3、设平面区域D：(x?2)?(y?1)?1，若I1?则有（ ）
（A）I1?I2； （B） I1?I2； （C）I1?I2； （D）不能比较。 4、设?是由曲面z?xy,y?x,x?1及z?0 所围成的空间区域，则
=（ ） （A）
23xy???zdxdydz ?22??(x?y)D2d?，I2???(x?y)3d?
D1111； （B）； （C） ； （D）。 3613623633645、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为??x??(t) (??t??)，
?y??(t)其中?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数，且??2(t)???2(t)?0， 则曲线积分
?Lf(x,y)ds?（ ）
(A) (C)
????f(?(t),?(t))dt； (B)
???f(?(t),?(t))??2(t)???2(t)dt ；
????f(?(t),?(t))??2(t)???2(t)dt； (D)?f(?(t),?(t))dt。
6、设?是取外侧的单位球面x2?y2?z2?1， 则曲面积分
??xdydz?ydzdx?zdxdy =（ ）
?(A) 0 ； (B) 2? ； (C)? ； (D)4?。
7、下列方程中，设y1,y2是它的解，可以推知y1?y2也是它的解的方程是（ ） (A) y??p(x)y?q(x)?0； (B) y???p(x)y??q(x)y?0； (C) y???p(x)y??q(x)y?f(x)； (D) y???p(x)y??q(x)?0。
8、设级数
?an?1?n为一交错级数，则（ ）
(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；
(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若an?0(n?0)，则必收敛。
三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数u?ln(x?的方向的方向导数。
2 2、（7分）求函数f(x,y)?xy(4?x?y)在由直线x?y?6,y?0,x?0所围成的闭
y2?z2)在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）
区域D上的最大值和最小值。 四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算I?dv，其中?是由x?0,y?0,z?0及x?y?z?1 3????(1?x?y?z)所围成的立体域。
2、（8分）设f(x)为连续函数，定义F(t)?其中??(x,y,z)|0?z?h,x?y?t五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求I????[z?22?f(x2?y2)]dv，
?22。 ?，求dFdt?L(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy，其中L是从A（a，0）经