化为定积分为 。 ５、曲线积分
?L(AB)Pdx?Qdy与积分路径L(AB)无关的充要条件为 。
６、设?为z?a2?x2?y2，则??(x2?y2?z2)ds? 。
?７、方程y??3y?e2x的通解为 。 ８、设级数
?an?1?n收敛，
?bn?1?n发散，则级数
?(an?1?n?bn)必是 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
?x2y,?22１、设f(x,y)??x?y?0,?(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)，在点（０，０）处，
下列结论（ ）成立。
（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）fx?(0,0)?fy?(0,0)?0； （Ｄ）可微。
?2f２、设函数z?f(x,y)有且f(x,0)?1，f?y(x,0)?x，则f(x,y)=（ ） ?2，2?y（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 1?xy?y2；1?xy?y2；1?x2y?y2；1?x2y?y2。
22３、设Ｄ：1?x?y?4，f在D上连续，则
??f(Dx2?y2)d?在极坐标系中等
于（ ） （Ａ）2??21rf(r)dr； （Ｂ）2?10?21rf(r2)dr；
2100（Ｃ）2?[?20 r2f(r)dr??r2f(r)dr]； （Ｄ）2?[?rf(r2)dr??rf(r2)dr]。
４、设?是由x?0,y?0,z?0及x?2y?z?1所围成，则三重积分
???xf(x,y,z)dv?(?)
（Ａ）
?10dx?1?y20dz?1?x?2y0xf(x,y,z)dy；
（Ｂ）
??1010dx?dy?011?x?2y0xf(x,y,z)dz；
xf(x,y,z)dz；
（Ｃ）
dx?1?x20dy?1?x?2y0（Ｄ）
?10dx?dy?xf(x,y,z)dz。
0011５、设?是由x?0,y?0,z?0,x?1y?1,z?1所围立体表面的外侧，则曲面积分
??xdydz?ydzdx?zdxdy?(?)
（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2。 ６、以下四结论正确的是（ ）
（Ａ）
42225； (x?y?z)dv??a???3x2?y2?z2?a2（Ｂ）
x2?y2?z2?a2???x??2?y2?z2?ds?4?a4;
（Ｃ）
(x2?y2?z2)dxdy?4?a4；
x2?y2?z2?a2外侧（Ｄ） 以上三结论均错误。
７、设g(x)具有一阶连续导数，g(0)?1。并设曲线积分
(,)44(0,0)?Lyg(x)tanxdx?g(x)dy )
??与积分路径无关，则
?yg(x)tanxdx?g(x)dy?(（Ａ）
?2222?； （Ｂ）??； （Ｃ）?； （Ｄ）??。 2288(?1)n?1８、级数?的和等于（ ） n?12n?1（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2。
三、求解下列问题（共计１５分） １、（８分）设u?x,求
yz?u?u?u,。 ?x?y?z２、（７分）设u?f(,)，f具有连续偏导数，求du。 四、求解下列问题（共计１５分） １、（８分）计算I?２、（７分）计算I?xyyzaf(x)?bf(y)222d?，其中。 D:x?y?R??f(x)?f(y)D2222，其中。 ?:x?y?z?R(x?y?z?1)dv????五、（１５分）确定常数?，使得在右半平面x?0上，
?L 2xy(x4?y2)?dx?x2(x4?y2)?dy与积分路径无关，并求其一个原函数u(x,y)。
六、（８分）将函数f(x)?1?x展开为x的幂级数。
(1?x)3七、（７分）求解方程y???6y??9y?0。
高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案
一、1、当0?a?1时，0?x2?y2?1；当a?1时，x2?y2?1；
2、负号； 3、
??d???dy?D01e?1?yeydx;3； 4、??2(t)???2(t)dt；
25、180?； 6、siny?Cx； x2x7、y?C1cos2x?C2sin2x?C3e?C4e?2x； 8、1；
二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C； 三、1、
?u?u?f1??yf2?；?xg?(x?xy)； ?x?y?u?u?f(x?t)?f(x?t)；?f(x?t)?f(x?t)； ?x?t222y21?y2?y2?y2?4四、1、?dx?edy??dy?edx??yedy?(1?e)；
0x00022、2、I柱面坐标??2?0d??20dr?r3dz??122?0d??dr?12r3dz?22r2214?； 3yx五、令P??2,Q?x?y2x2?y2?Py2?x2?Q则，(x,y)?(0,0)； ?2?22?y(x?y)?x?P?Q,在D内连续。所以由Green?y?x?P?Q,在D内除O（0，?y?x*于是①当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，公式得：I=0；②当L所围成的区域D中含O（0，0）时，
0）外都连续，此时作曲线l为x?y??(0???1)，逆时针方向，并假设D为
?222L?及l?所围成区域，则
I??L?????????llL??l????Green公式??(lD*?Q?P?)dxdy???2??x?yx2?y2??2
六、由所给条件易得： f(0)?2f(0)?f(0)?0
1?f2(0)f(x)?f(?x)?f(x)1?f(x)f(?x)f(x??x)?f(x)又f?(x)?lim =lim
?x?0?x?0?x?x1?f2(x)f(?x)?f(0) ?lim ?f?(0)[1?f2(x)] ??x?01?f(x)f(?x)?x即
f?(x)?f?(0) 21?f(x)fn(x)?f?(0)?x?c即 f(x)?tan[f?(0)x?c] ?arcta又 f(0)?0 即c?k?,k?Z ?f(x)?tanf(?(0)x)
t2n?1 七、令x?2?t，考虑级数?(?1)
2n?1n?1?nt2n?3?3?t2 ?lim2nn??t2n?12n?1?当t2?1即t?1时，亦即1?x?3时所给级数绝对收敛；
当t?1即x?3或x?1时，原级数发散；
当t??1即x?1时，级数
?(?1)n?1n?1?1收敛； 2n?1当t?1即x?3时，级数
?(?1)nn?1?1收敛； 2n?1?级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。
高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案
一、1、1； 2、-1/6； 3、
?20dy?yy/2f(x,y)dx??dy?242y/2f(x,y)dx ； 4、
2f?(0)； 35、?8?； 6、2(x?y?z)； 7、y???y??2y?0； 8、0；
二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C； 三、1、函数u?ln(x?y2?z2)在点A（1，0，1）处可微，且
?u?x?u?y?u?zA?1x?y?z1x?y?z1x?y?z222222(1,0,1)?1/2；
A??yy?zzy?z?22(1,0,1)?0；
A??22(1,0,1)?1/2
而l?AB?(2,?2,1),所以l?(,?
2321,),故在A点沿l?AB方向导数为： 33?u?zA?u?lA??u?xA?cos?+
?u?yA?cos?+?cos?
?12211??0?(?)???1/2. 23323??fx??2xy(4?x?y)?xy(?1)?02、由?得D内的驻点为M0(2,1),且f(2,1)?4， 2f?x(4?x?2y)?0??y 又f(0,y)?0,f(x,0)?0
32 而当x?y?6,x?0,y?0时，f(x,y)?2x?12x(0?x?6)
令(2x?12x)??0得x1?0,x2?4
于是相应y1?6,y2?2且f(0,6)?0,f(4,2)??64.
?f(x,y)在D上的最大值为f(2,1)?4，最小值为f(4,2)??64.
32?0?x?1?四、1、?的联立不等式组为?:?0?y?x?1
?0?z?1?x?y?所以I??10dx?1?x0dy?1?x?y0dz
(1??x?y?z)3 ?1?x1111dx[?]dy 2??0024(1?x?y) ?1113?x15(?)dx?ln2? ?02x?14216