高等数学（下册）考试试卷（五）参考答案
ax?1y?1z?1dx?(1?xez?y?x)dy2?；??一、1、；2、；3、4、 em(a?x)f(x)(a?x)dx；z?y?x?0169?11?xe 5、对任意闭曲线l，Pdx?Qdy?0或
l??P?Q或?u(x,y),使得du?Pdx?Qdy； ??y?x4 6、2?a； 7、y?ce?3x1?e2x； 8、发散 5二、1、C； 2、B； 3、A； 4、C； 5、C； 6、B； 7、D； 8、A
?u?u?uzyz?1zyzyzz?1?yx?yxlnx?lny ?xyzlnx；三、1、；?x?z?y2、??u1?f1??xy?ux1??2f1??f2??yzy?uy??2f2? ?zz ?du??u?u?u1x1ydx?dy?dz?f1?dx?(?2f1??f2?)dy?2f2?dz。 ?x?y?zyzyz四、1、因为积分域D关于y?x对称，所以
I???Daf(x)?bf(y)af(y)?bf(x)d????d?
f(x)?f(y)f(y)?f(x)D1af(x)?bf(y)af(y)?bf(x)[??d????d?] 2Df(x)?f(y)f(y)?f(x)D故I? = 2、I?112； (a?b)d??(a?b)?R2??2D???(x?2?y2?z2)dV?2???x(y?z?1)dV?2???yzdV
????+2???ydV?2???zdV????dV
? 因为?关于三个坐标轴都对称，而2xy,2yz,2zx,2x,2y,2z都（至少）关于某个变
量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是：
I?432222?3zdV??R (x?y?z)dV?dV?????????3??? ?6?R0dz43432zdxdy??R??R(1?R2)。 ??33x2?y2?R2?z22?242?五、令P?2xy(x?y),Q??x(x?y)
4 则
?P?2x(x4?y2)??4?xy2(x4?y2)??1，?y?Q??2x(x4?y2)??4?x5(x4?y2)??1 ?x 由已知条件得
?Q?P，即有(x4?y2)(??1)?0，所以???1 ??x?y 所求的一个原函数为 ： u(x,y)??1(x,y)(1,0)2xyx2dx?4dy 422x?yx?yy0 ??x0dx??x2y dy??arctanx4?y2x2六、易知
1?x2?(1?x)21 ???(1?x)3(1?x)3(1?x)3(1?x)2(?1?x?1)
?1 又??xn1?xn?0?11n?1? ? ?()?nx?21?x(1?x)n?1??11n?2 ?()???n(n?1)x??(n?1)nxn?1 32(1?x)(1?x)n?2n?1?1?xn?1 ??(n?1)nx??3(1?x)n?12?nxn?1?n?1??n2xn?1 ， 其中
n?1?(?1?x?1)
七、方程的特征方程为：r?6r?9?0，其特征根为r1?r2?3，
故方程的通解为：y?(c1?c2x)e
3x
高等数学（下）模拟试卷五
ln(x?y)一． 填空题z?（每空3分，共21分）
y1．函数的定义域为 。
2．已知函数z?ex2?y2，则dz?(1,0) 。
?z3．已知z?exy，则?x? 。
2ds?224．设L为x?y?1上点?1,0?到??1,0?的上半弧段，则?L 。
5．交换积分顺序?1?edx?lnx0f(x,y)dy? 。
(?1)n?6.级数n?1n是绝对收敛还是条件收敛？ 。
7．微分方程y??sinx的通解为 。
二．选择题（每空3分，共15分）
1．函数z?f?x,y?在点?x0,y0?的全微分存在是f?x,y?在该点连续的（ ）条件。
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分，也非必要
2．平面?1:x?2y?z?1?0与?2:2x?y?z?2?0的夹角为（ ）。
????A．6 B．4 C．2 D．3 (x?5)n?n3．幂级数n?1的收敛域为（ ）。
A．?4,6? B．?4,6? C．?4,6? D．?4,6?
?y1(x)????y(x)4．设y1(x),y2(x)是微分方程y?p(x)y?q(x)y?0的两特解且2常数，则下
列（ ）是其通解（c1,c2为任意常数）。
A．y?c1y1(x)?y2(x) B．y?y1(x)?c2y2(x) C．y?y1(x)?y2(x) D．y?c1y1(x)?c2y2(x)
5．?在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中?为x?3,x?0,y?3,y?0，z?0,z?3所围的闭区域。
A．D．
???zdv?03dx?dy?zdz00300333 B．
?30dx?dy?zdz0033 C．
?30dx?dy?zdz3003
?30dx?dy?zdz
三．计算下列各题（共21分，每题7分）
?z?z,z1、已知lnz?e?xy?0，求?x?y。
x?1y?2z??(1,0,2)1?23的直线方程。 2、求过点且平行直线
3、利用极坐标计算D一象限的区域。
22(x?y)d???22，其中D为由x?y?4、y?0及y?x所围的在第
四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）
1、利用格林公式计算曲线积分?L(y2?ex)dx?(2xy?5x?sin2y)dy，其中L为圆域D：
x2?y2?4的边界曲线，取逆时针方向。
2、判别下列级数的敛散性：
(1)?(?1)n?1?n?11
n2(2)?nn n?13
?五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）
1f(x,y)?x3?y2?3x?3y?121、求函数的极值。
dy?y?e?x2、求方程dx满足yx?0?2的特解。
x3、求方程y???2y??8y?2e的通解。
高等数学（下）模拟试卷六
一、填空题：（每题3分,共21分.）
5．将?01dx?1?x20f(x2?y2)dy化为极坐标系下的二重积分 。
(?1)n?26.级数n?1n是绝对收敛还是条件收敛？ 。
?7．微分方程y??2x的通解为 。
二、选择题：（每题3分,共15分.）
1．函数z?f?x,y?的偏导数在点?x0,y0?连续是其全微分存在的（ ）条件。
A．必要非充分， B．充分， C．充分必要， D．既非充分，也非必要，
2．直线
l:xy?2z?2??110与平面?:x?2y?z?3的夹角为（ ）。
????A．6 B．3 C．2 D．4
xn?n23．幂级数n?13n的收敛域为（ ）。
A．(?3,3) B．[?3,3] C．(?3,3] D．[?3,3)
?*4.设y(x)是微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解，y(x)是方程y???p(x)y??q(x)y
?0的通解，则下列（ ）是方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的通解。
A．y(x) B．y(x)?y(x) C．y(x) D． y(x)?y(x)
***5．
2z???dv?在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中?为x?y?z?R的上半
RR2222球体。
A．
?2?02?0d??rdr?z2dz00 B．
?2?02?0d??rdr?z2dz00Rr
? C．
d??dr?0RR2?r20zdz2? D．
d??rdr?0RR2?r20z2dz
三、计算下列各题（共18分，每题6分）
?z?z,3z?3xyz?5?x?y 1、已知，求
2、求过点(1,0,2)且平行于平面2x?y?3z?5的平面方程。
3、计算
??(xD2?y2)dxdy，其中D为y?x、y?0及x?1所围的闭区域。
四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）
2(x?y)dx?(x?siny)dy2y?2x?x1、计算曲线积分?L，其中L为圆周上点(0,0)到
(1,1)的一段弧。
2、利用高斯公式计算曲面积分：
???xdydz?ydzdx?zdxdy?，其中?是由
z?0,z?3,x2?y2?1所围区域的整个表面的外侧。
3、判别下列级数的敛散性：
?1?(?1)(2)?4nsinn?lnn n?13 (1)n?2五、求解下列各题（共21分,每题7分）
1f(x,y)?3x2?6x?y3?2y2?131、求函数的极值。
?ndy?y?ex2、求方程dx满足y
x?0?1的特解。
x3、求方程y???5y??6y?(x?1)e的通解。
高等数学（下）模拟试卷七
一． 填空题（每空3分，共24分）
1z?2222(x?y)25?x?y1．二元函数的定义域为
2．
yz?x3．的全微分dz? _ 5．设
z?arctan?zy??xx，则______________________