2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 南昌大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘述亮 2. 李翔 3. 郭强兵 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
日期： 年 月 日
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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本文用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，建立了油量容积与油高的函数关系V(h)。考虑到算法的实现性，本文把对体积的多重积分通过降维，转化为单重积分，从而避免多重积分边界难确定问题。
问题一：通过MATLAB编程得到油量容积与油高的数值关系，讨论实验数据与理论数据之间的误差，最后得到结果变位后罐容表标定的油量容积大于实际油量容积。通过建立的罐容模型得出了变位后的罐容表。
问题二，对于实际的油罐，采用分割法降低模型建立的难度和编程的难度，把油罐分成三段，利用问题一中的积分方法，分别建立油的体积V(h)与h的函数
V1(h),V2(h),V3(h),，相加既得V(h)。从附件2的数据表中可以得到出油量和显示油高h'的数据，由出油量的数值逐步累加可以得到累加出油量的值v'， v(h')?v初-v' （v初表示油罐内原有的油量）
将油位高度为h'时的理论值V(h')与实际值v(h')进行逐差比较，方差取得最小值时，即可确定?和?的值。问题转化为以方差最小为目标函数，?和?为自变量的最优规划问题。得到??2.12?,??4.18?。
模型的合理性分析：把附录中显示油高与显示油量的数据看做是纵向倾斜角度?和横向偏转角度? 值都为0时的实验值。然后用建好的模型对此数据进行求解，如果得到的结果非常接近0则可以充分证明模型的准确性和可靠性。否则模型不可靠不准确缺乏说服力。最后求解的结果为??1e?6?,??0?从而模型的准确性和可靠性得证。
最后建立了基于数据特征求变位参数模型。随着有高的上升，液面面积有一最大值，利用附表的数据得到最大面积和对应的高度，进而求出??2.046?,??6.4796?
同时求解过程对误差进行了分析与检验，说明结果可靠性很高。结果与上个模型的差异可能主要来源于系统误差，如油罐参数偏差，油罐形变，罐内油管的体积及残留油垢等。
关键词：变为识别 罐容表标定 优化问题 数值积分 特征分析
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一.问题的重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为?=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据
二.问题分析
本问题的关键是找到油罐储油量与油位高度的对应关系。
对于问题一，首先无变位时容易根据立体几何的知识得到储油体积与油位高度的函数关系，并且可以得到无变位时的理论罐容表，与给出的无变位时的数据比较，作误差分析；倾斜角为??4.1?的纵向变位后，由于随着油位高度的取值不同，储油体积的计算不同，于是分段计算得到储油体积与油位高度的函数关系，同样也可以得到变位后的理论罐容表，与所给数据比较，计算误差。
问题二，由于实际油罐形状复杂，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型需要一定的处理技巧。为了减小算法实现的难度，计算体积时把对体积的多重积分通过降维，转化为单重积分，从而避免多重积分边界难确定问题。根据附表的数据，利用最小二乘发求解。使当纵向倾斜角度?和横向偏转角度? 值时理论值与所给数据规律方差最小。利用求解出来的模型求出。纵向倾斜角度?和横向偏转角度? 值都是未知数即使求解出来，由于没有与真实值对比没法说明其正确合理性和可靠性。为此可以把显示油高与显示油
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量的数据看做是来源一另一种变位情况，只是纵向倾斜角度?和横向偏转角度? 值都为0。然后用建好的模型进行求解如果得到的结果非常接近0则可以充分证明模型的准确性和可靠性。前面的模型都是建立油量体积与液位高度的函数关系，建立模型。同理我们亦可以通过建立油罐内液面面积与液位高度的函数关系，通过这个关系的特征对部分问题题求解，如求解纵向倾斜角度?和横向偏转角度? 值。
三.模型假设
1.实验数据真实可靠。
2.油罐的参数准确，偏差可忽略。 3.不考虑外界因素的干扰。
四.主要符号说明
h h' 油面高度 油位高度 油体截面积 油的体积 椭圆油罐的长度 油截面与y轴成的角随着x值的变化的函数 S V l1 ?(x) R 球冠体的半径 n 油罐中间圆柱体截面半径 注：用到的局部变量在文中直接注释。
五.模型的建立与求解
5.1问题一
为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为??4.1?的纵向变位两种情况做了实验。由于小 椭圆型储油罐各参数已经确定，于是可以通过各参数计算得到油罐储油量与油位高度的函数关系，以此得到一个理论罐容表。
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