由上面数据可得理论值始终大于实验值，该实验存在系统误差。
5.1.5变位后罐容表标定
油位高度 （mm）
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220
3.531044 6.26351 9.974764 14.75629 20.69084 27.85416 36.3163 46.14242 57.39353 70.12695 84.39676 100.2541 117.7475 136.923 157.8184 180.2591 203.9994 228.9066 254.8849 281.8577 309.7608 338.5387 容积(L)
油位高度(mm)
310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520
630.1462 665.5808 701.5256 737.9584 774.8577 812.203 849.9747 888.1537 926.7217 965.6608 1004.954 1044.584 1084.535 1124.791 1165.336 1206.155 1247.234 1288.557 1330.111 1371.881 1413.854 1456.015
9
610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800 810 820
1841.797 1885.131 1928.513 1971.931 2015.372 2058.824 2102.275 2145.713 2189.125 2232.5 2275.824 2319.086 2362.273 2405.372 2448.372 2491.259 2534.02 2576.643 2619.115 2661.423 2703.552 2745.491
910 920 930 940 950 960 970 980 990 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100 1110 1120
3112 3151.234 3190.11 3228.612 3266.722 3304.421 3341.691 3378.511 3414.861 3450.72 3486.064 3520.87 3555.114 3588.769 3621.808 3654.2 3685.915 3716.917 3747.171 3776.636 3805.266 3833.013 容积(L)
油位高度(mm)
容积(L)
油位高度(mm) 容积(L)
230 240 250 260 270 280 290 300
368.1426 398.5285 429.6567 461.4906 493.9967 527.1438 560.9024 595.2452
530 540 550 560 570 580 590 600
1498.352 1540.851 1583.499 1626.283 1669.19 1712.208 1755.323 1798.524
830 840 850 860 870 880 890 900
2787.225 2828.74 2870.022 2911.057 2951.83 2992.326 3032.531 3072.427
1130 1140 1150 1160 1170 1180 1190 1200
3859.819 3885.618 3910.332 3933.858 3956.056 3976.655 3995.537 4012.745
5.2 问题二
对于图1所示的实际储油罐，先建立罐体变位后标定罐容表的理论数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。通过误差修正后得到修正模型，根据附表的数据求解出纵向倾斜角度?和横向偏转角度? 值，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。这里根据附表的数据特征，在没有利用油体积与液位高度的理论模型情况下得出纵向倾斜角度?和横向偏转角度?值。
地平线油位探测装置油位探针注油口检查口出油管油浮子3m油位高度油1m2m6m图1储油罐正面示意图1m
5.2.1实际储油罐变位后罐容表标定理论模型
考虑到纵向倾斜角?和横向偏转角?，将油罐分为三段分别进行容积的计算，这三段分别为中间的圆柱体和两端的两个球冠体。为了方便计算分别建立油的体积V(h)与h的关系函数V1(h),V2(h),V3(h).
10
1.对于中间圆柱体容积V1的计算
按照前面的方法建立直角坐标系 则h?x*tan?222
对于圆柱体沿x方向上的截面，如图所示建立另一个直角坐标系。 可得y?z?n
?y?n*cos???,??[?,] 其中?22?z?n*sin?h?n?z?n*(1?sin?),??[???2,2]
沿x轴方向上截面的面积S(x)可表示为：
S(x)??h?R2ydz?????2ncos??d??n(??22212sin2???2)
2?xS(x)dx,x?l1??0??x则容积：V1(h)???x?l1S(x)dx,l1?x?lm
?l?mS(x)dx??*R2*(x?l),l?x?l?lmmm1???x?l1hm?2n其中
2.对于左端球冠体容积V2的计算
确定球冠体的半径R：()2?(R?1)2?R2 ?R?1.625
23lm?hmtan?。
如图建立直角坐标系，则此时左端球冠体的表面方程为：t1?y?z确定油面方程：z?t1tan??d 这里h?(R?1)*tan??d?2*R?1
222?R。
2确定球冠体内油面距t1oz平面上轮廓线的距离h(t)（如图所示）：
11
h(t1)?t1tan??d?R?t1 t1?[R?1,R]
??2,2]
22h(t1)?R(t1)(1?sin?(t1)) ?(t1)?[?所以可推导出?(t1)的表达式：?(t1)?arcsin(t1tan??d?R(t1)R?t1
22R?t122?1)
沿x轴方向上球冠体的截面半径R(t1)：R(t1)?因此可以求得球冠体沿x轴方向上油的截面面积s(t1)：
??(t1)2R(t)cos??d(R(t)sin?)??11???2??2s(t1)???R(t1)..............h(t1)?2R(t1)?0......................h(t)?01???所以 V2(h)?
3. 对于右端球冠体容积V3的计算
????(t1)22R(t1)cos??d?........0?h(t1)?2R(t1)22
?RR?1s(t1)?dt1
确定球冠体的半径R：()2?(R?1)2?R2 ?R?1.625
23建立直角坐标系，则此时右端球冠体的表面方程为：
t2?y?z?R2222，t2?[R?1,R]
确定油面方程：z??t2tan??d1
沿t2轴方向上球冠体的截面半径R(t2)：R(t2)?12
R?t2
22
确定球冠体内油面距t2oz平面上轮廓线的距离h(t2)（如图所示）：
h(t2)??t2tan??d1?R?t2 t2?[R?1,R]
22h(t2)?R(t2)(1?sin?(t2))
其中(1?R)*tan??d1??0,h?l1tan?2*R?1??
h?ltan?,h?ltan?11?因此可以求得球冠体沿x轴方向上油的截面面积s(t2)：
??(t2)2R(t)cos??d(R(t)sin?)??22???2??2s(t2)???R(t2)..........h(t2)?2R(t2)?0....................h(t)?02??? 所以V3(h)?????(t2)22R(t2)cos??d?.......0?h(t2)?2R(t2)22?RR?1s(t2)?dt2
综上所述:油的容积V(h)： V(h)?V1(h)?V2(h)?V3(h) 油位高度h'与h的关系为：(h'?n)cos??h?n??ltan? 因此可以确定油的容积与油位高度h'之间的函数关系。
5.2.2模型求解：
算法实现过程：
由于被积函数的表达式过于复杂，不好直接求出原函数。我们采用数值积分的方法，在1e?10的误差范围内，对于任意一个油位高度值h'，分别求出上述三段油的容积，叠加后即为总容积。
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