线。因此可以利用二次曲线进行拟合，但由于图像并非严格的抛物线，所以拟合区域不能过大，但也不能过小，可取[1000m 2100] 下面为三组数据S1i,S2i,S3i?12(S1i?S2i)拟合的结果：
拟合参数 变位1 -0.0000388325 0.1220618572 变位2 -0.0000388608 0.1221931000 平均 -0.0000388466 0.1221274786 拟合的均方差分别为
拟合方差 变位1 变位2 平均
拟合图像
0.4856357863 0.7869125339 0.6362741601 44.8547865774 44.7185187579 44.7866526677
由上述拟合方程可得最大面积和对应的高度为 高度 体积差 面积 变位1 1571.6458162532 140.7737901663 28.1547580333 变位2 1572.1898744187 140.7738960625 28.1547792125 平均 1571.9178453360 140.7738431144 28.1547686229
对于未变位时，最大面积S
S1?R*arccos(S?3*8?2*S1
2R?1R)?(R?1)*2*R?1(R为两端球冠的半径R=1.625)
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计算得S?28.3357775所以，?1?arcos?1 SmS
，同理得到数据
?2 ? ?6.4798385545
由??arctan ?1 ?l6.4794590690 6.4796488145 (hm?R)cos?可得到
?2 ? ?2.0385287339 2.0539970818 2.0462629422
上述求解方法为默认给定油罐的参数是精确的，没偏差。但对于一个实际问题，误差是不可避免的，是客观存在的。为了得到一个更准确的解，同时也可以证明模型的准确性和合理性。这里，用上述模型对无变位时油量V(h)与油位高度h的关系进行研究。 同前面处理方法一样，先插值，分别得到两组罐容表，Vc1(h)和Vc2(h)，以?h?5mm为步长得一纵向量，方差分析得到:
??0.00540089847070 8
所以理论所得的罐容表非常准确。 误差来源，主要是数据的舍入误差。 同理，进行逐差，求得
Sc1(hi)?Vc1(hi?1)?Vc1(hi)?hVc2(hi?1)?Vc2(hi)?hVc3(hi?1)?Vc3(hi)?h Sc2(hi)?Sc3(hi)?
对各面积二项式拟合得到拟合方程参数分别为 无变位1 -0.0000391858 0.1173328253 无变位2 -0.0000391865 0.1173348929 平均 -0.0000391861 0.1173338591 20
53.8727503088 53.8710814132 53.8719158610
拟合方差分别为
0.0006971681 无变位1?c1 无变位2?c2 平均?c3
0.0007059390 0.0007015536 由上表可知方程拟合的非常好
最大面积及取得最大面积时的油位高度： Sc1 Sc2 ?Sc? 平均相对变化 0.0178739409% 28.3408392855 hc1 28.3408451548 hc228.3408422201 hc 1497.1334046651 1497.1359696064 1497.1346871357 0.1910208576 % 由于这里只有无变位时的数据，所以hc即为油罐的半径。 由上面计算可得，油罐半径变小 0.191 %，而数据误差
??3??h*S?0.00668%
因此说明油罐的参数的确有微小的偏差，这一微小的误差充分说明模型的准确性。基于上述分析，进一步修正?与?的值，则 ??arcos ??artanSSc
(h?hc)cos??l计算结果如下： 平均值 相对修正量 ? 2.1273356833 1.3637%
6.5691857259 3.823% ?
微小的相对修正量同时也证明通过这个模型的准确性和可靠性 下面为油罐变位与没变位时的体积差的函数图的比较
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6.结果分析与检验
对于问题一通过建立油量容积与油高的数值关系，得到油高对应的理论油量容积，与实验数据比较得到一总是大于0的偏差平均误差约2%，说该实验具有系统误差。通过变位和无变位得到在相同油高下变位的油罐油量容积大。且最大值在油高0.6m左最大。通过建立的罐容模型对罐容表标定结果比较理想。
问题二：对于问题二我们分别从两个不同角度建立了两个不同的模型。 模型一通过直接推导出油量容积与油高的数学模型，求解出两个参数
? min ? 2.12? 4.18? 0.00105L 当无变位时油量容积与油高的关系极为显示油量与显示油高的数据的关系，此时可以吧无变位时的情况看做一种特殊的变为情况，把模型待入求其变位参数结果为
? min ? 0 0.0030L 参数非常接近0，所以可以说明模型的可靠性。另一个是基于数据的特征，基于对特征的分析建立模型，结果为 ? 2.1273356833 6.5691857259 ?
结果与第一个模型很接近，也进一步证明两个模型都具有合理性。
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7.模型的优缺点评价及改进
7.1模型的优点
（1）整个模型建立和求解过程中，都采用了降维的思想，将二重积分转化为一重积分，避免多重积分边界难以确定的问题。
（2）在处理问题一的有倾角变位问题时，通过引入一个虚拟油罐，采用了实际油罐在虚拟油罐上逐步移动法来进行分段求解，这一方法有效且直观的解决了分段积分问题。 （3）在不能进行符号积分时，在确保精度的条件下采用数值积分的方法，利用数值模型的思想解决问题。 7.2模型的缺点
（1）在问题一的求解时，没有充分考虑实际值与理论值之间的误差。 （2）问题二的编程求解时，?和?的值采用的是人工搜索，程序设计不足。
7.3模型的改进
（1）要通过附录中给出的实测数据，充分考虑实际值与理论计算值之间的误差关系，通过曲线拟合的方法进行误差修正，从而得到更加精确的罐容表。 （2）为了便于算法的实现，这里还可以尝试其他的积分方法。
8.参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学(下册--6版).北京:高等教育出版社,2007.6(2008重印). [2]王绵森,马知恩.工科数学分析基础(上册)(第二版).北京:高等教育出版社,2006.2(2008重印).
[3]王连堂.数学建模.陕西:陕西师范大学出版社,2008.5.
[4]黄永安,李文成,高小科.Matlab7.0/Simulink6.0应用实例仿真与高效算法开发.北京:清华大学出版社,2008.6.
9.附录
9.1 附件
问题A附件 问题B附件
9.2 示意图
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