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余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA． 它们的变形形式有：a = 2R sinA，（4）面积公式：
S??12aha?12bhb?12chc?12absinC?12acsinB?12bcsinA．
sinAsinB?ab，cosA?b2?c2?a22bc．
解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b． （2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C． （二）三角函数性质的分析
1．三角函数的定义域
这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在y轴上的角．
函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角．
(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 2．三角函数的值域
(1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．
常用的一些函数的值域要熟记．
③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)． 3．三角函数的周期性
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(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：
①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期．
②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．
因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π．
同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．
因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．
同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．
(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用
①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接．
②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化．
③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可．
4．三角函数的奇偶性，单调性
研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间．
5．三角函数的图象
(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象． (2)函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx 图象的对称中心分别为
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∈Z)的直线．
五、思想方法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sinθ=tanx2cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配
??????凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
222
2
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a?bsin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?=
ba22确定。
?2（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan2.证明三角等式的思路和方法。
的有理式。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
六、注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：
1．三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值．
2．三角变换的一般思维与常用方法．
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如
??(???)???(???)???2??2?12?2?．也要注意题目中所给的各角之间的关系．
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等． 熟悉常数“1”的各种三角代换：
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1?sin??cos22??sec??tan22??cos??sec??sin?2?2?cos0?tan?4?2sin?6等．
注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为tan式．但往往代数运算比较繁．
熟悉公式的各种变形及公式的范围，如 sin α = tan α · cos α ，1?cos??2cos2?2的代数式，把三角式转化为代数
，
1?cos?sin??tan?2等．
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如
1?cos??2sin2?????????，1?sin???sin?cos?，1?sin???sin?cos?等．从右到
22?22?2??22左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．
3．几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式； 1±sin α 可化为1?cos?2??????，再用升次公式； ?2?asin??bcos??a?bsin2?????（其中
tan??ba）这一公式应用广泛，熟练
掌握．
4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．
5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．
6.三角函数的奇偶性
“函数y = sin (x＋φ) （φ∈R）不可能是偶函数”．是否正确． 分析：当???2时，y?sin?x???????cosx，这个函数显然是偶函数．因此，这个判
2?断是错误的．我们容易得到如下结论：
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数???k??k?Z?． ② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数???k??③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数???k???2?k?Z?． ?k?Z?．
?2七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
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④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数???k?7.三角函数的单调性
“正切函数f (x) = tan x，x?k???2?k?Z?．
，是否正确． ?k?Z?是定义域上的增函数”
分析：我们按照函数单调性的定义来检验一下： 任取x1??0，?，x2???2???????，??，显然x1＜x2，但f (x1 )＞0＞f (x2 )，与增函数的定义?2?相违背，因此这种说法是不正确的．
观察图象可知：在每一个区间?k?????2，k?????2??k?Z?上，f (x ) = tan x都是增
函数，但不能说f (x ) = tan x在其定义域上是增函数．
七、范例分析
例1、已知tan??2，求（1）
1??cos??sin?cos??sin?；（2）sin2??sin?.cos??2cos2?的值.
sin?22??3?22；
解：（1）
cos??sin?cos??sin?1?tan?1?cos???sin?1?tan?1?1?cos?22 (2) sin??sin?cos??2cos??sin?222sin??sin?cos??2cos?sin??cos?222
?cos?2cos?sin??12cos??sin??2?2?2?22?1?4?32.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2、已知函数f(x)=tan(
?3sinx)
（1）求f(x)的定义域和值域；
（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间； （3）判定方程f(x)=tan
23π在区间（－π，π）上解的个数。
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解：（1）∵－1