如图，A、B是一矩 OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=3，设∠AOE=α.
（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α); （2）写出函数f(x)的取值范围。
解：（1）∵OE=1，EF=3 ∴∠EOF=60°
当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α) ∴f(α)=S△AOB=
12[tan(45°+α)－tanα]
22cos(2α?45?)?2=
sin45?2cos?·cos(45??α)=
当a∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=
1cos?，OB=
3cos(45??α)
∴f(?)=S
△
AOB=
12OA2OB2sin45°=
12cos?2
3cos(45??α)2sin45°
=2cos(6?4 2?2α)????2cos(2α?综上得：f(α)= ????2cos(2α?2??4 ??[0,)?2 ??()?2?12]
6??12?4,?4]（2）由（1）得：当α∈[0，
22cos(2α??121]时
f(α)=
?412∈[
)?22,3－1]
且当α=0时，f(α)min=
；α=
?12时，f(α)max=3－1；
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当α∈(?12,?4]时,－
?12≤2α－
?4≤
?4，f（α）=
62cos(2α??43∈[6－3,
)?232]
且当α=
?8时，f(α) min=6－3；当α=
?4时，f(α) max=
2
所以f(x) ∈[
12,
32]。
说明：三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。练习时注意三角函数的综合应用。 例8、 已知函数y=
12cosx+
2
32sinx2cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）y=
12cosx+
2
32sinx2cosx+1=
14 (2cosx－1)+
2
14+
34（2sinx2cosx）+1
=
1412cos2x+
34sin2x+
5454=
12(cos2x2sin
?6+sin2x2cos
?6)+
54
=sin(2x+
?6)+ ?6所以y取最大值时，只需2x+=
?2+2kπ,（k∈Z），即 x=
?6?6+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
??（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
66（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的y=sin(2x+
?612倍（纵坐标不变），得到函数
)的图像；
12（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的y=
12倍（横坐标不变），得到函数
sin(2x+
?6)的图像；
54（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=
12sin(2x+
?6)+
54的图像。
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综上得到y=
12cosx+
2
32sinxcosx+1的图像。
说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成
y=a?bsin (ωx+?)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，
1cos222y=2x?23sin2x?cossinxcosx21x+1=221?tan?3tanx2x+1
化简得：2(y－1)tan2x－3tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：∴ymax=
例9、已知函数f(x)?sinx3cosx3?3cos234≤y≤
74
74，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+
?6,k∈Z}
x3.
（Ⅰ）将f(x)写成Asin(?x??)的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
f(x)?12sin2x3?32(1?cos2x3)?12sin2x3?32cos2x3?32?sin(2x3?2
?3)?32
由sin(2x3??3)=0即
2x3即对称中心的横坐标为（Ⅱ）由已知b2=ac cosx???|12a?c?b2ac22233k?12???k?(k?z)得x?3k?12?k?z
?，k?z
?a?c?ac2ac22?2ac?ac2ac?2x32x3???12?，5?9?3?sin(2x3??cosx?1，?0?x??3，?3?3?3?2|?|5?9??2|，?sin?3?sin(?3)?1，?3)?1?32， 即f(x)的值域为(3,1?32].
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综上所述，x?(0,?3] ， f(x)值域为(3,1?32] .
说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。
例10、设二次函数f(x)?x2?bx?c(b,c?R)，已知不论?,?为何实数恒有
f(sin?)?0,f(2?cos?)?0.
（1） 求证：b?c??1； （2） 求证：c?3；
（3） 若函数f(sin?)的最大值为8，求b,c的值.
(1) ?sin??[?1,1]， 2?cos 又?f(sin f(2?cos??[1,3]，?)?0 ，?)?0 恒
成立. ?f(1)?0 ， f(1)?0， 即 f(1)?0 恒成立.
?1?b?c?0， 即 b?c??1.
（2）?f(3)?0， ?9?3b?c?0， ?9?3(?1?c)?c?0， ?c?3. （3）由题意可知： f(x)在[?1，1]上为减函数
?8?f(?1)?1?b?c ①， ?b?c??1 ② ，
，
由 ① ，② 可得 b = ?4 ,c = 3 .
说明：赋值法在解决有关恒成立问题时经常用到，利用函数的单调性往往能使问题得以顺利解决。
例11、已知函数y?12cosx?232sinxcosx?1(x?R)
（1） 求函数y的最大值，并求此时x的值.
（2） 该函数的图象可由y?sinx(x?R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
123212解：（1） y?cos2x?sinxcosx?1?sin(2x?74?6)?54，
?当x?k???6,k?Z时,ymax?；
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（2）将函数y?sinx的图象依次进行如下变换： ① 把函数y?sinx的图象向左平移
?6，得到函数y?sin(x?12?6)的图象；
② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的
y?sin(2x?倍（纵坐标不变），得到函数
?6)的图象；
12③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的
y?12sin(2x?倍（横坐标不变），得到函数
?6)的图象；
54④把得到的图象向上平移
12个单位长度，得到函数y?3212sin(2x??6)+
54的图象；
综上得函数y?cos2x?sinxcosx?1的图象.
说明：图象变换是否熟练、准确是解决三角函数问题的关键，要求学生要熟练掌握。
B 例12、化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表1 m 盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米）. 解：如图，CD?2?1.2?0.8，设AD?x，则
tan??tan??BDADCDAD??1?0.8x1.8x?1.8xC ，
A 1.2 m 2 m D ，
tan??tan?1?tan?tan??tan??tan(???)?，
B 1 m C ?111xx??tan????， 1.80.81.442.41.441??x?2x?xxxx1.80.8?A 当x?1.44x?? 1.2 m D 2 m ，即x?1.2时，
12.4tan?达到最大值，?是锐角，tan?最大时，
?也最大，所以值班人员看表盘最清楚的位置为AD?1.2米.
说明：欲在表盘看得清楚，人眼距表盘水平距离AD应使视角达到最大。合理利用角的关系，建立目标函数，是本题的关键。
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例13、平面直角坐标系有点P(1,cosx),Q(cosx,1),x