≤sinx≤1 ∴ －
?3≤
?3sinx≤
?3。又函数y=tanx在x=kπ+
?2(k∈Z)
处无定义，
且 （－
?2，
?2）[－
?3,
?3]（－π, π），
∴令
?3sinx=±
?2，则sinx=±
32
解之得：x=kπ±
?3 (k∈Z)
?3∴f(x)的定义域是A={x|x∈R，且x≠kπ±
?2，k∈Z}
∵tanx在（－，
?2）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数y=
?13sinx的
值域B满足
??（－，）B
22∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。
（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=
?3和x=
2?32?3处无定义。
?2设t=
?3sinx，则当x∈[0,
?3)∪（
?3，2?3）∪（，π）时，t∈[0,
)∪(
?2,
?3]，
且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，
?2），（
?2，
?3]上分别单调递增。
又∵当x∈[0，
?3]时，函数t=
?3sinx单调递增，且t∈[0,
?2)
当x∈（
?3，
?2]时，函数t=
?3sinx单调递增，且t∈（
?2,
?3]
当x∈[
?2，
2?3)时，函数t=
?3sinx单调递减，且t∈（
?2,
?3]
当x∈（
2?3，π）时，函数t=
?3sinx单调递减，且t∈（0，
?2）
∴f(x)=tan(
?13sinx)在区间[0，
?3),（
?3,
?2]上分别是单调递增函数；在
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[?2,2?3),(2?3,?)上是单调递减函数。
又f(x)是奇函数，所以区间（－
[??,?2?3),(?2?3,??3，0]，[－
?2，－
?3)也是f(x)的单调递增区间
?2]是f(x)的递减区间。
故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－?2?2，－
?3（－)，
?3，
?3），（
?3，
]单调递减区间为[??,?232?3),(?2?3,2?3),(2?3,?)。
（3）由f(x)=tanπ得：
tan(
?3sinx)=tan(
236π)??3sinx=kπ+
23π （k∈Z）
?sinx=k3+
3(k∈Z)①
又∵－1≤sinx≤1，∴∴k=0或k= －1
?3?32?k?3?32
当k=0时，从①得方程sinx=
63
当k=1时，从①得方程sinx= －3+
63
显然方程sinx=
63,sinx= －3+
63，在（－π, π）上各有2个解，故f(x)=tan
23π在区间（－π，π）上共有4个解。
说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=
?3sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基
本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。
例3 、已知函数f?x???acos2x?23asinxcosx?2a?b的定义域为?0，?，值域为
2?????[ －5，1 ]，求常数a、b的值．
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解：∵ f?x???acos2x?3asin2x?2a?b，
?????2acos?2x???2a?b ．
3???2∵ 0?x?，∴ ??3?2x??3?2?3，∴ ? ?cos?2x?2?1???? ?1．
3?当a > 0时，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b， ∴ ??3a?b?1，?b??5. 解得 ??a?2，?b??5.
当a < 0时，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ． ∴ ??3a?b??5，?b?1. 解得 ??a??2，?b?1.
故a、b的值为 ??a?2?b??5 或 ??a??2?b?1
说明：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响．
例4、设f(x)?asin?x?bcos?x(??0)的周期T??，最大值f(（1）求?、a、b的值； （2）若?、、?为方程f(x)?0的两根，?、、?终边不共线，求解：(1) f(x)??f(?12?12)?4，
tan(???)的值.
22a?bsin(?x??)， ?T??， ???2， 又 ?f(x)的最大值
)?4， ?4?a?b ① ， 且 4?asin222?12?bcos2?12 ②，
由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2) f(x)?2sin2x?23cos2x?4sin(2x? ?4sin(2???2???3?3)?4sin(2???3?3)，
?3?2k????(2???3)， ?6?3)， ?f(?)?f(?)?0，
?2k??2??， 或 2??即 ??k??? (?、? 共线，故舍去) ， 或 ????k???633，
?tan(???)?tan(k??)? (k?Z).
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说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。
例5、已知:sinα+cosα=1，求sinα+cosα; sinα+cosα;sinα+cosα的值。
解法一：令sinα+cosα=t，则sinα2cosα=
t?122334466
∴sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α－sinα2cosα+cos2α) =t2(1－
t?122)=1，得：
t3－3t+2=0?(t－1)22(t+2)=0
∵t≠－2 ∴t=sinα+cosα=1，且sinα2cosα=
t?122=0。
∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2 – 2sin2α2cos2α=1－220=1 sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α－sin2α2cos2α+cos4α)=1 解法二：∵sinα≤sinα,cosα≤cosα ∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1
3??sin??sin?等号当且仅当?时成立，
3??cos??cos?3232
?sin??0?cos??0??或? ?cos??1?sin??1∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1
说明：（1）凡是遇到sinx+cosx与sinx2cosx类的问题，均应采用换元法，令sinx+cosx=t，得sinx2cosx=
t?122。
（2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。 （3）本题还可推广到一般情形：若k≥2且sin2k－1α+cos2k－1α=1，则sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1，若sin2kα+cos2kα=1，则sinα=±1，cosα=0或sinα=0,cosα=±1。
例6、设f(x)=tanx,x∈(0,
12?2),若x1，x2∈(0,
?2),且x1≠x2,证明：
[ f(x1)+ f(x2)]>f(
x1?x22)
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证明:tanx1+ tanx2=
sinx1cosx1+
sinx2cosx2=
sinx1?cosx2?sinx2?cosx1cosx1?cosx2
=
2sin(x1?x2)cos(x1?x2)?cos(x1?x2) ∵x1,x2∈（0，
?2），且x1≠x2
∴2sin(x1+x2)>0,cosx12cosx2>0,0
2sin(x1?x2)1?cos(x1?x2)=2tan
x1?x22
sin?另证：以上是采用化弦，放缩后利用公式tan和差角公式加以证明。
左边－右边=
12?2=
1?cos?加以证明的，也可以利用正切的
[tanx1+tanx2]－tan
x1?x22
=
12121212 [tanx1－tan
x1?x22+tanx2－tan
x1?x22]
=[tan(x1－
x1?x22)2(1+tanx12tan
x1?x22)+tan(x2－
x1?x22)2(1+tanx22tan
x1?x22)]
=tan
x1?x22x1?x222(1+tanx1tan
x1?x22－1－tanx22tan
x1?x22)
=tantan
x1?x22(tanx1－tanx2) ，∵
x1?x22∈(0,
?2) ∴tan
x1?x22>0
又∵tan
x1?x22和tanx1－tanx2在x1>x2时，同为正，在x1 时，同为负，所以tan x1?x22（tanx1－tanx2）>0。 综上 12tan x1?x22x1?x22tan x1?x222(tanx1－tanx2)>0，即 12[f(x1)+f(x2)]>f() 说明：在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法。本题解法一是化弦，了解决把两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小。 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供Word版教学资源 例7