2015年全国高考理科数学分类汇编——16选修部分
π??1.【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点?2??到直线?cos??3sin??6的距离
3????为 ．
【答案】1
【解析】先把点(2,)极坐标化为直角坐标(1,3)，再把直线的极坐标方程
?3?cos??3sin??6化为直角坐标方程x???3y?6?0，利用点到直线距离公式
d?1?3?61?3?1.
【评注】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离. 2.【2015高考湖北，理15】（选修4-1：几何证明选讲）
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC?3PB，则
AB? . ACPBCA第15题图
【答案】
1 2【解析】因为PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线， 由切割线定理知，PA?PB?PC?PB(PB?BC)，因为BC?3PB，
22所以PA?4PB，即PA?2PB，
2由?PAB∽?PCA，所以
ABPB1??. ACPA2【评注】判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．
3.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立
1?x?t?,??t极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为?(sin??3cos?)?0，曲线C的参数方程为?
1?y?t??t?( t为参数) ，l与C相交于A,B两点，则|AB|? . 【答案】25
【解析】因为?(sin??3cos?)?0，所以?sin??3?cos?，所以y?3x?0，即y?3x；
1?x?t?,??y?3x?22t由?消去t得y?x?4.联立方程组?2，解得21?y?t??y?x?4?t??2x???2或??y?32?2??2?x???2， ??y??32?2?即A(232232,)，B(?,?)， 2222由两点间的距离公式得|AB|?(22232322?)?(?)?25. 2222【评注】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错. 4.【2015高考重庆，理14】如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.
AOPCEB题（14）图D
【答案】2
62?12，CD?PD?PC?9，【解析】首先由切割线定理得PA?PC?PD，因此PD?32又CE:ED?2:1，因此CE?6,ED?3，再相交弦定理有AE?EB?CE?ED，所以
BE?CE?ED6?3??2. AE9【考点定位】相交弦定理，切割线定理.
【名师点晴】平面几何问题主要涉及三角形全等，三角形相似，四点共圆，圆中的有关比例线段（相关定理）等知识，本题中有圆的切线，圆的割线，圆的相交弦，由圆的切割线定理和相交弦定理就可以得到题中有关线段的关系． 5．【2015高考重庆，理15】已知直线l的参数方程为??x??1?t（t为参数），以坐标原点
?y?1?t为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为
?2cos2??4(??0,【答案】(2,?)
3?5????)，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______. 44【解析】直线l的普通方程为y?x?2，由?2cos2??4得?2(cos2??sin2?)?4，直角
22坐标方程为x?y?4，把y?x?2代入双曲线方程解得x??2，因此交点.为(?2,0)，
其极坐标为(2,?).
【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.
【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如cos??sin??1等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系
22?x2?y2??2?x??cos??式?，?y等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题?y??sin???tan??x一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
6．【2015高考重庆，理16】若函数f(x)?x?1?2x?a的最小值为5，则实数a=_______. 【答案】a?4或a??6
【解析】由绝对值的性质知在x??1或x?a时f(x)可能取得最小值，若
f(?1)?2?1?a?5，a?37a?4或a??，经检验均不合；若f(a)?5，则x?1?5，
22或a??6，经检验合题意，因此a?4或a??6. 【考点定位】绝对值的性质，分段函数.
【名师点晴】与绝对值有关的问题，我们可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把问题转化为不含绝对值的式子（函数、不等式等），本题中可利用绝对值定义把函数化为分段函数，再利用函数的单调性求得函数的最小值，令此最小值为5，求得a的值．
7.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为
π7???2?sin(??）?2，点A的极坐标为 A?22,?，则点A到直线l的距离
44??为 . 【答案】52． 2??【解析】依题直线l：2?sin?????7???和点?2A22,???可化为l：x?y?1?0和
4?4??A?2,?2?，所以点A与直线l的距离为d?2???2??112???1?2?5252，故应填入．
22【考点定位】极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想．
【评注】本题主要考查正弦两角差公式，极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于容易题，解答此题在于准确把极坐标问题转化为平面直角坐标问题，利用平面几何点到直线的公式求解．
8. 【2015高考广东，理15】（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，AB?4，
EC是圆O的切线，切点为C，BC?1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于
点D和点P，则OD? .
C D E P O B A 图1
【答案】8．
【解析】如下图所示，连接OC，因为OD//BC，又BC?AC，所以OP?AC，又O为
AB线段的中点，所以OP?2111OCD中，OC?AB?2，由直角三角形BC?，在Rt?222OC222??8，故应填入8． 的射影定理可得OC?OP?OD即OD?1OP2C D E P O B A 【考点定位】直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理．
【评注】本题主要考查直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理运用，属于中档题，解答平面几何问题关键在于认真审题分析图形中的线段关系，适当作出辅助线段，此题连接
OC，则容易得到Rt?OCD，并利用直角三角形的射影定理求得线段OD的值．
9.【2015高考天津，理5】如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，弦CD,CE 分别经过点M,N .若CM?2,MD?4,CN?3 ，则线段NE 的长为( ) （A）
8105 （B）3 （C） （D） 332DEOAMC【答案】A
【解析】由相交弦定理可知，AM?MB?CM?MD,CN?NE?AN?NB，又因为M,N是弦AB的三等分点，所以AM?MB?AN?NB?CN?NE?CM?MD，所以
NB