第四章 流体阻力和水头损失
4-1 用直径100mm的管路输送相对密度0.85的柴油，在温度20C时，其运动粘度为6.7cSt，欲保持层
流，问平均流速不能超过多少？最大输送量为多少t/h？ 解：??6.7cSt?6.7?10?6m3/s 层流：Rec＝2000
Rec?2000?6.7?10?6?Vm???0.134m/s Re??D0.110.894?3600M??Q???水VmA＝0.85?1000??3.14?0.12＝0.894Kg/s??3.22t/h
41000VDD?100mm?0.1m
4-3 用管路输送相对密度0.9，粘度45cP的原油，维持平均流速不超过1m/s，若保持在层流状态下输
送，则管径最大不应超过多少？ 解：??45cP?45?10?3Pa?s
Rec??VD?2000?
Rec?2000?45?10?3Dm???0.1m?Vm0.9?1000?14-4 相对密度0.88的柴油，沿内径100mm的管路输送，流量1.66L/s。求临界状态时柴油应有的粘度为
多少？ 解：
Rec?V?QA?VD??2000???????????VDRec??QDARec
0.88?1000?1.66?10?3?0.1???0.0093Pa?s?9.3cP
1?3.14?0.12?200044-5 研究轴承润滑的问题中，有关的物理参数为：轴的正应力p，摩擦力R，轴径D，轴承长l，轴与
轴承间的间隙Δ，润滑剂粘度μ，转数n。试用因次分析方法确定它们之间的无因次关系式。 解：（1）f1?p,R,D,l,?,?,n??0 （2）取 p，D，n 作为基本物理量
[p]=[ML-1T-2]，[R]=[MLT-2]，[D]=[L]，[l]=[L]，[Δ]=[ L]，[μ]=[ ML-1T-1]，[n]=[ T-1]
l??nR??????，，， 2342DDppD?1??Rl??n?（3）???pD2,D,D,p???0
?? 26
?????42??1??3??lD2npD? 即R?R?R??pD2D?nl??lD2n?f????? ??4-6 研究流体绕流与流向垂直放置的横卧圆柱体所受的阻力T时，涉及的物理参数为：流体的流速U、
流体的粘度μ、密度ρ、圆柱直径D、圆柱长度l及圆柱表面粗糙度Δ。试用因次分析方法中的π定理确定各物理量间的无因次关系式。并证明T=CDAρU2 (其中：A=Dl，称迎流面积)，写出阻力系数CD的函数表达式。 解：（1）f1?U,?,?,D,l,?,T??0
（2）选基本物理量ρ，V，D
[U]=[ LT-1]， [μ]=[ ML-1T-1]， [ρ]=[ ML-3]，
[D]=[L]， [l]=[L]， [Δ]=[ L]， [T]=[MLT-2]
????1?x????V?y?D?z111??ML?3x1?MLT???MT??L??1?1?1y1z1
M：1＝x1 x1＝1
L：-1＝-3x1 + y1 + z1 ? y1 ＝1 ? ?1?T：-1＝-y1 z1＝1 同理得：
l?T，?3?，?4? 22DD?UD??VD
?2?所以，
??Tl?? ???,,???22?UD??VDDD???l??D??l??D??l??22 ????T??U2D2??,,??UDL?,,??UA?,,???VDDD?????L??VDDD?L??VDDD???令 CD?D??l????,,?? L??VDDD??则 T?CDA?U2
4-7 假定气体中的声速C依赖于密度ρ、压强p和粘度μ。试用雷利量纲分析方法求声速C的表达式。
(C=Kp?) 解：C＝kρxpyμz
[C]=[ LT-1]，[ρ]=[ ML-3]，[p]=[MLT-2] ，[μ]=[ ML-1T-1] ， [LT-1]=k[ ML-3]x[MLT-2]y[ ML-1T-1]z ∴ c?k?
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?1212p?kp?
4-8 蓖麻油相对密度为0.969，动力粘度为484mPas，流经直径为75mm的管道时，平均流速为5m/s。
今用空气进行模拟试验，气体管道直径为50mm，空气的运动粘度为0.15cm2/s，气流速度为多少，才能保持动力相似？ (0.225m/s)
解：由题意，欲保持动力相似，应维持雷诺数相等 Ren?Rem
?nVnDnVmDm?nVnDn?m0.969?1000?5?75?0.15?10?4 ??Vm????3?n?m?nDm484?10?50Vm＝0.225m/s
4-9 油船吃水面积为400m2，航速5m/s，船长50m。在水中进行模型实验时，模型吃水面积为1m2。
忽略表面张力及粘性力的影响，只考虑重力的影响，与保持原型及模型中的弗汝德数相等，试求模型长度及模型航速大小。 (长度：2.5m，航速：1.12m/s) 解：
几何相似： ?A? ?l?An4002???l??l?20 Am1LnL50?Lm?n??2.5m Lm?l20222VnVmV52Frn=Frm , Fr????m
gLngLmg?50g?2.5 ∴ Vm?5?120?1.12m/s
4-10 充分发展了的粘性流体层流，沿平板下流时，厚度δ为常数，且
?p?0，重力加速度g。求证其流速分布关系式为： ?x?g2??y?1?y?u??????????????2???证：Navier—Stokes方程：
2?? ????2ux?2ux?2ux1?pX??????222???x??x?y?z??2uy?2uy?2uy1?pY????2??22???y?x?y?z???ux?ux?ux?ux? ??u?u?uxyz??t?x?y?z???uy?uy?uy?uy?? ?ux?uy?uz??t?x?y?z???uz?uz?uz?uz? ??u?u?uxyz??t?x?y?z??p?0 由题意：X＝g，Y＝0，Z＝0；?x?ux?2ux?0,?0 uy＝uz＝0，ux＝u；2?z?z
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??2uz?2uz?2uz1?pZ??????x2??y2??z2??z?不可压稳定流：
?ux?0 ?t??2ux?2ux则N－S方程简化为：g?????x2??y2???ux?ux? ?u?uxy??x?y??ux?2ux?ux?uy?uz?0,?0 由连续性方程：???0得 ?x?x2?x?y?z?2ux则N－S方程进一步简化为：g???0 2?y积分：gy???u?C1?0 ?yy2??u?C1y?C2?0 再积分：g2边界条件：y＝0时，u＝0 ? C2＝0 y＝δ时，
?u?0 ? C1＝－gδ ?yy2??u?g?y?0 即 g2y22g?y?g???g1?gy1y????222所以 u???????? ??y?y?????2?????2?????4-11 管径400mm，测得层流状态下管轴心处最大流速为4m/s，求断面平均流速。此平均流速相当于
半径为多少处的实际流速？ 解：V?umax4?p2??2m/s； umax?R?4m/s 224?Lu??pR2?r2?2m/s4?L
R0.2r???0.1414m22??4-12 求证半径为a的圆管中粘性液体层流状态时，管中摩阻应力极大值为??4?V。（μ为液体粘度，aV为平均流速）
?pD2?p32?VV???证： 圆管层流
32?LLD2?max?
?pR32?Va4?V?? 22La?2a?229
4-13 用长度5km，直径300mm的钢管，输送相对密度0.9的重油，重量流量200t/h。求油温从t1＝10°C
（ν1＝25St）变到t2＝40°C（ν2＝1.5St）时，水头损失降低的百分数。
200?103/3600解：Q???0.0617m3/s
?0.9?1000M V?Q4Q4?0.0617???0.8733m/s A?d23.14?0.32t1＝10°C时：
Re1?Vd?1?0.8733?0.3?104.796?2000，层流?425?1022hf1??LV64LV?d2gRe1d2g0.8733?0.3?1746.6?2000，层流?41.5?1022
t2＝40°C时：
Re1?Vd?2?hf2??LV64LV?d2gRe2d2g
hf1?hf2hf1?1?hf2hf1?1?Re1Vd104.796??1??0.94 Re21746.61nu?r???1?? 4-15 管内紊流时的流速分布规律可写为指数形式
um?R?其中um为最大流速，R为管道半径，u和r为任一点所对应的流速和半径。求平均流速与最大流速之比。
1n1nu?r?解：??1??um?R?Ar???u??1???R??um
RQ??dQ??u?2?rdr?2?um?01nR0r???1??rdr ?R?1?1n1n1?r?r????1??设 v???1??,u?r，则 v??R?1?R?1??R?nRR ?xn?1n?1x n?1?0r?1?r????1???1??rdr??R?1R??R?1??n21n11?n?r?R?0R1nR0r????1??1R?1??n11?1ndr
r???0?R????1??11R?1?2??nn
112?0R2?1??1??1?2?????n??n??30