第3章 动量定理及其守恒定律 第3章 动量定理及其守恒定律
第三章
一、基本知识小结
1、牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。矢量式：F??ma?dv?d2?
?mdt?mrdt2 Fx?max,Fy?may,Fz?maz（直角坐标）分量式：Fdv?v2 ??ma??mdt,Fn?man?m?（弧坐标）2、动量定理适用于惯性系、质点、质点系。导数形式：F??d? p?dt；微分形式：Fdt?d?p；
积分形式：I?(??F?dt)???p（注意分量式的运用）
3、动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。
若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即
若?F??外?0，则p?恒矢量。（注意分量式的运用）
4、在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。
在直线加速参考系中：?f*??ma?0 在转动参考系中：?f*2r??c?m?,f*2mv'???k?
5、质心和质心运动定理 ⑴mr??c??mirimv??c??mivima??c??miai
⑵?F??ma?c（注意分量式的运用）
二、思考题解答
3.1试表述质量的操作型定义。?
解答，
m?m?v00??vkg 式中m0?1kg（标准物体质量）
??v0：为m与m0碰撞m0的速度改变 ??v：为m与m0碰撞m的速度改变
这样定义的质量，其大小反映了质点在相互作用的过程中速度改变的难易程度，或者说，其量值反映了质量惯性的大小。这样定义的质量为操作型定义。
3.2如何从动量守恒得出牛顿第二、第三定律，何种情况下牛顿第三定律不成立？ 解答，由动量守恒p??1?p??2?p??
????1?p?2, p?1??p1??(p?2?p2?p?p??p1???p2dp?) 1dp??t，取极限dt??21???2,?tdt 动量瞬时变化率是两质点间的相互作用力。
F?dp?1dt?ddt(m??1?1v1)?m1a1,F? dp?2d??2?dt?dt(m2v2)?m2a2,F??1??F2 对于运动电荷之间的电磁作用力，一般来说第三定律不成立。（参见P68第二、三自然段）
3.3在磅秤上称物体重量，磅秤读数给出物体的“视重”或“表现重量”。现在电梯中测视重，何时视重小于重量（称作失重）？何时视重大于重量（称作超重）？在电梯中，视重可能等于零吗？能否指出另一种情况使视重等于零？
解答，①电梯加速下降视重小于重量；
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②电梯加速上升视重大于重量；
③当电梯下降的加速度为重力加速度g时，视重为零；
④飞行员在铅直平面内的圆形轨道飞行，飞机飞到最高点时，
mv2R?mg?N, N?mv2R?mg?0, v?gR 飞行员的视重为零
3.4一物体静止于固定斜面上。 （1）可将物体所受重力分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。
（2）因物体静止，故下滑力mg sinα与静摩擦力?0N相等。α表示斜面倾角，N为作用于斜面的正压力，?0为静摩擦系数。以上两段话确切否？ 解答，不确切。
（1）重力可以分解为沿斜面向下的和与斜面垂直的两个力。但不能说分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。
（2）应该说，因物体静止，物体所受的力在斜面方向的分力的代数和为零。
3.5马拉车时，马和车的相互作用力大小相等而方向相反，为什么车能被拉动。分析马和车的受的力，分别指出为什么马和车能启动。 解答，
分析受力如图。地面反作用于马蹄子上的力使系统启动。
3.6分析下面例中绳内张力随假想横截面位置的改变而改变的规律：
（1）长为
?质量为m的均质绳悬挂重量为W的重物而处于静止。
（2）用长为?质量为m的均质绳沿水平方向拉水平桌面上的物体
F?加速前进和匀速前进。对两种情况均可用表示绳作用于物体的拉
力，不考虑绳因自重而下垂。
（3）质量可以忽略不计的轻绳沿水平方向拉在水平桌面上运动的重
??物，绳对重物的拉力为F，绳的另一端受水平拉力F1，绳的正中间
??还受与F1的方向相同的拉力F2。
（4）长为
?质量为m的均质绳平直地放在光滑水平桌面上，其一?端受沿绳的水平拉力F而加速运动。
（5）长为
?质量为m的均质绳置于水平光滑桌面上，其一端固定，
绳绕固定点在桌面上转动，绳保持平直，其角速率为
?。
若绳保持平直，你能否归纳出在何种情况下绳内各假想横截面处张力相等。（提示：可沿绳建立ox坐标系，用x坐标描写横截面的位
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置）。
解答，(1)T?W?mg?(??y)?W?mg?mg?y
y是在0至ι之间的任意位置。
（2）匀速前进：F??w，T?F
加速运动：
F??w,T?F?m?xax （3）o?x??2,
T?F1?F2, ?2?x??, T?F1,
(4)
T?Fm(m?x)?F?x,
(5)
dm?m22m222???dx, T??x?xdm???m?x??xxdx??(2?2) 若绳保持平直，绳的两端受到大小相等方向相反的外力作用时，绳静止或匀速直线运动。这时张力处处相等。若绳保持平直，绳的两端受到大小不等方向相反的外力作用时，绳加速直
线运动，这时在忽略绳的质量时，张力处处相等。
3.7两弹簧完全相同，把它们串联起来或并联起来，劲度系数将发生怎样的变化？
解答，如图，串联时：
mg?F?k???k?2??, k??k2
并联时：
mg?F?k???k???/2, k??2k。
3.8用两段同样的细线悬挂两物体，若突然向下拉下面物体，下面绳
易断，若缓慢拉，上面线易断。为什么？
解答，突然向下拉下面物体时，由于上面物体要保持静止状态（惯性），由于过程的时间极短，上面物体还没有来得及改变状态，下面的绳就断了。
若缓慢拉下面物体时，上面物体能够来得及改变状态，这样上面绳内的张力比下面绳内的张力大，所以上面绳易断。
3.9有三种说法：当质点沿圆周运动时， （1）质点所受指向圆心的力即向心力； （2）维持质点作圆周运动的力即向心力； （3）mv2/r即向心力。
这三种说法是否正确？ 解答，以上说法都不确切。?
（1）如图F的n?方向投影为向心力，向心力为?Fin。
（2）维持质点作圆周运动的力可能有?Fin?Fi?。
（3）mv2/r不是力，是外力对物体作用的瞬时效应。
ma???md?vd?dp?是动量的变化率，madt?dt(mv)?dt。
3.10杂技演员表演水流星，演员持绳的一端，另端系水桶，内盛水，
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令桶在铅直平面内作圆周运动，水不流出。
（1）桶到达最高点除受向心力外，还受一离心力，故水不流出； （2）水受到重力和向心力的作用，维持水沿圆周运动，故水不流出。 以上两种说法正确否？作出正确分析。 解答，以上两种说法不正确。
（1）向心力不是独立于其它相互作用之外的力，向心力为?Fin。离心力为?Fin的反作用力，它不作用于桶上。
（2）在惯性系内，水沿圆周运动，所受的力为重力和桶对水的作用v2力即 N?mg?mR
在非惯性系内，水除受重力和桶对水的作用力
外，还受惯性离心力 Fc?mv2R
3.11游戏场中的车可在铅直圆环轨道上行驶，设车匀速前进。在图中标出的几个位置E、C、A、B、D上，何处乘客对坐位的压力最大？何处最小？
解答，N?mgcos??mv2R,
N??mgcos??mv2R,
cos??1, ??0 时，N最小
cos???1, ??? 时，N最大。在最下面。
可以得出D、E点N最大。
3.12下面的动力学方程哪些线性哪些非线性？
d2x22mdt2?x2,非线性，mdx2dxdxdt2?2x?t,线性，mdt2??dt?t3,线性 md2xdx2dt2?(dt),非线性
一次方程叫线性方程。n阶线性方程具有下列形式
x(n)?p?11(t)xn?p2(t)xn?2?...?pn?1(t)x??pn(t)x?q(t)
对于2阶线性方程具有下列形式
x???p1(t)x??p2(t)x?q(t)
3.13尾部设有游泳池的轮船匀速直线航行，一人在游泳池的高台上朝船尾方向跳水，旁边的乘客担心他跳入海中，这种担心是否必要？若轮船加速行驶，这种担心有无道理？ 解答，（1）不必要。由伽利略相对性原理可以解释 （2）若轮船加速行驶，这种担心有道理。在加速平动的非惯性中人除了受到物体的相互作用力外，还受到与加速度方向相反的惯性
力，此力有可能使他跳入海中。
3.14根据伽利略相对性原理，不可能借助于在惯性参照系中所作的力学实验来确定该参照系作匀速直线运动的速度。你能否借助于相对惯性系沿直线作变速运动的参照系中的力学实验来确定该参照系的加速度？如何作？ 解答，
ma?Tsin?,mg?Tcos?,tg??ag,a?gtg?测出θ，a可求。
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3.15在惯性系测得的质点的加速度是由相互作用力产生的，在非惯性系测得的加速度是惯性力产生的，对吗？
解答，不对。
?F?i?(?m?a)?m?a?， 3.16用卡车运送变压器，变压器四周用绳索固定在车厢内，卡车紧
急制动时，后面拉紧的绳索断开了。分别以地面和汽车为参照系，解释绳索断开的原因。
解答，地面为参照系（惯性系），变压器为研究对象，其加速度向后，所以作用在变压器上的合力向后，后面的绳索作用在变压器的力比前面的大。（由于加速度较大，静摩擦力远远小于绳索的拉力，静摩擦力可以不考虑） 汽车为参照系（非惯性系），变压器为研究对象，相互作用力和惯性力矢量和为零，可见，后面的绳索作用在变压器的力比前面的大。 3.17是否只要质点具有相对于匀速转动圆盘的速度，在以圆盘为参照系时，质点必受科里奥利力？
???解答，科里奥利力f?k?2m?v相????2m??v相 如图，质点具有相对于匀速转动圆盘的速
度，在以圆盘为参照系时，质点不一定就受到科里奥利力。
3.18在北半球，若河水自南向北流，则东岸受到的冲刷严重，试由科里奥利力进行解释。又问，河水在南半球自南向北流，哪边河岸冲刷较严重？
解答，科里奥利力：f?k?2m?v相?????2m????v相 在北半球，若河水自南向北流，应用科里奥利力可判断东岸受到的
冲刷严重。河水在南半球自南向北流时，西岸受到的冲刷严重。 见图。
3.19在什么情况下，力的冲量和力的方向相同？
解答，冲量是矢量，元冲量的方向总是与力的方向相同；至于在一段较长时间内，力的冲量等于这段时间内各无穷小时间间隔元冲量的矢量和，因此，力的冲量方向决定于这段时间诸元冲量矢量和的方向，即 ?I??t?t0Fdt，不一定和某时刻力的方向相同。当
在一段时间内，各无穷小时间间隔元冲量方向都相同时，则这段时间内力的冲量和力的方向相同。另外冲量和平均力的方向总是一致的。
3.20飞机沿某水平面内的圆周匀速率地飞行了整整一周，对这一运动，甲乙二人展开讨论：
甲：飞机既然作匀速圆周运动，速度没变，则动量是守恒的。
乙：不对，由于飞行时，速度的方向不断变化，因此动量不守恒。2根据动量定理，动量的改变来源于向心力的冲量。向心力就是
mvr，
2?r飞行一周所用时间为v，飞行一周向心力的冲量等于
F?t?mv22?rrv?2?mv（m为飞机质量，v为速率，r为圆周半径。分析他们说得对不对。
解答，都有错误。
甲的错误是说“速度没变”，动量就守恒。
应该说：速率不变但速度方向不断变化，动量不守恒。
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