第3章 动量定理及其守恒定律 第3章 动量定理及其守恒定律
qE?qvB?0,?v?E/BENA?1T?1dimv?MT?1,dimB?NAM1?MT?1?1? 3.4.17带电粒子束经狭缝S1,S2之选择，然后进入速度选择器（习题3.5.16），其中电场强度和磁感应强度各为E和B. 具有“合格”速度的粒子再进入与速度垂直的磁场B0中，并开始做圆周运动，经半周后打在荧光屏上.试证明粒子质量为：m=qBB0r/E，r和q分别表示轨道半径和粒子电荷。
解：由3.5.16题可知，通过速
B 度选择器的粒子的速度是v=E/B，
● ● ● v ● ● 该粒子在B● ● B0 0磁场中受到洛仑兹力s ● ●的作用做匀速圆周运动，其向心加s ●
1 s2 E 速度为an=v2/r，由牛顿第二定律：
● r ●
qvB2● ●
0?mv/rm?qBv?qrB
0r/0B/E3.4.18某公司欲开设太空旅馆。其设计为用32m长的绳联结质量相等的两客舱，问两客舱围绕两舱中点转动的角速度多大，可使客舱感到和在地面上那样受重力作用，而没有“失重”的感觉。 解：mg?m?2r,??g/r?9.8/16?0.78rad/s
3.420 圆柱A重500N，半径RA=0.30m，
圆柱B重1000N,半径R=0.50m，都放置在
NAB B NA 宽度L=1.20m的槽内，各接触点都是光滑 A α B NB' 的，求A、B间的压力及A、B柱与槽壁和 mAg 槽底间的压力。
N NBA B α A L α AB=R y
mBg A+RB=0.8
C α B o x CB=L-RA-RB=0.4
解：隔离A、B,其受力情况如图所示，选图示坐标，运用质点平衡方程，有
??NABsin??NB?0(!)?NA?NABsin??0(3)?NB'?mBg?NABcos??0(2)??NABcos??mAg?0(4) 通过对△ABC的分析，可知，sinα=0.4/0.8=0.5 ∴α=30o, cosα=3/2,分别代入（1）、（2）、（3）、（4）中，即可求得： NB = 288.5 N , NB'= 1500 N , NA = 288.5 N , NAB = 577 N.
3.5.21图表示哺乳动物的下颌骨，假如肌肉提供的力F1和F2均与水平方向成45°，食物作用于牙齿的力为F，假设F,F1和F2共点，求F1和F2的关系以及与F的关系。
解：建立图示坐标o-xy，应用共点力
y F1 平衡条件：?Fx?0,?Fy?0
α x x方向，F1cosα-F2cosα=0, F1= F2
F2 y方向，Fsinα+Fα 12sinα- F=0， F F?2F1sin??2sin45?F1?2F1
3.5.22四根等长且不可伸长的轻绳端点悬于水平面正方形的四个顶点处，另一端固结于一处悬挂重物，重量为W，线与铅垂线夹角为α，求各线内张力。若四根线均不等长，知诸线之方向余弦，能算出线内张力吗？
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解：设四根绳子的张力为T1，T2，T3，T4，由于对称，显然，T1=T2=T3=T4=T；设结点下边的拉力为F，显然F=W. 在竖直方向上对结点应用平衡条件：
4Tcosα-W=0，T=W/(4cosα)
若四根线均不等长，则T1≠T2≠T3≠T4，由于有四个未知量，因此，即使知道各角的方向余弦，也无法求解，此类问题在力学中称为静不定问题。
3.5.1 小车以匀加速度a沿倾角为α的θ 斜面向下运动，摆锤相对小车保持静止，求悬线与竖直方向的夹角（分别自惯性系和非
惯性系求解）。
α 解：（1）以地为参考系（惯性系），小球受重力W和线拉力T的作用，加速度a沿斜面向下，建立图示坐标o-xy,应用牛顿第二定
T 律：??Tsin??macos?θ f*=ma ?mg?Tcos??masin?
x α 解得 tg??acos?/(g?asin?)
a W=mg y （2）以小车为参考系（非惯性系），小球除受重力W、拉力T外，还受惯性力f*的作用(见上图虚线表示的矢量)，小球在三个力作用下静止，据牛顿第二定律：
??Tsin??macos??0?mg?Tcos??masin??0 解得tg??acos?g?asin?
3.5.2 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m1,m2且m1≠m2,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？
解：以升降机为参考系,隔离m1,m2,受力及运动情况如图示,T为绳中张力，f1*=m1a,f2*=m2a,
a'=a'为mT T 1'=a21、m2相对升降
机的加速度.
f1* f2* a
以向下为正方向，由牛
顿二定律，有：
a1' a2' m1 m2 ??m1g?T?m1a??m1a'?m m1g m2g 2g?T?m2a?m2a'?(m1?m2)a?(m2?m1)g解得：??a'?m1?m2
??T?2m1m2(g?a)/(m1?m2)设m1、m2的加速度分别为a1、a2，根据相对运动的加速度公式，
a??????1?a1'?aa2?a2'?a 写成标量式：a1??a'?a,a2?a'?a，
将??a2m2a?(m2?m1)g1?a’代入，求得：??m1?m2
??a?2m1a?(m2?m1)g?2m1?m2)
3.5.3图示为柳比莫夫摆，框架上悬挂小球，将摆移开平衡位置而后放手，小球随即摆动起来。⑴当小球摆至最高位置时，释放框架使它沿轨道自由下落，如图a，问框架自由下落时，摆锤相对于框架如何运
a ?b n 动？⑵当小球摆至平衡位置时，释放框架，
n? f* 如图b，小球相对框架如何运动？小球质量
T f* T
比框架小得多。 θ ???? W W
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解：以框架为参考系，小球在两种情况下的受力如图所示：设小球质量为m, 框架相对地自由落体的加速度为g，因此小球所受的惯性力f*=mg，方向向上，小球所受重力W=mg. 在两种情况下，对小球分别应用牛顿第二定律：
⑴小球摆至最高位置时释放框架,小球相对框架速度v=0，所以法向加速度an=v2/l=0（l为摆长）；由于切向合力Fτ=Wsinθ-f*sinθ=0，所以切向加速度aτ=0. 小球相对框架的速度为零，加速度为零，因此小球相对框架静止。
⑵小球摆至平衡位置时释放框架，小球相对框架的速度不为零，法向加速度an=v2/l≠0，T=man ；在切向方向小球不受外力作用，所以切向加速度aτ=0，因此，小球速度的大小不变，即小球在拉力T的作用下相对框架做匀速圆周运动。
3.5.4摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转。筒内壁半径为3.0m，轮胎与壁面静摩擦系数为0.6，求摩托车最小线速度（取非惯性系做） f=μ解：设摩托车在水平面内旋转的最小角
0N N f*=mω2r 速度为ω，以摩托车本身为参考系，车受力
mg 情况如图示，运动状态静止。
在竖直方向应用平衡条件，μ0N = mg ① 在水平方向应用平衡条件，N = mω2 r ②
①/②得：?0?g?2r,??g?
0r最小线速度 v??r?rg/?0?3.0?9.8/0.6?7m/s
3.5.5一杂技演员令雨伞绕铅直轴转动，一小圆盘在雨伞上滚动但相对地面在原地转动，即盘中心不动。⑴
小盘相对于雨伞如何运动？⑵以伞为参考f0 N 系，小盘受力如何？若保持牛顿第二定律形
fK* fC* ω W
式不变，应如何解释小盘的运动？
解：⑴可把小盘当作质点，小盘相对雨伞做匀速圆周运动，与伞相对地的转向相反。
⑵以伞为参考系，小盘质点受5个力的作用：向下的重力W，与扇面垂直的支持力N，沿伞面向上的静摩擦力f0，此外还有离心惯性力fC*和科氏惯性力fk*，方向如图所示。把这些力都考虑进去，即可保持牛顿第二定律的形式不变，小盘正是在这些力的作用下相对伞做匀速圆周运动。
3.5.6设在北纬60°自南向北发射一弹道导弹，其速率为400m/s，打击6.0km远的目标，问该弹受地球自转影响否？如受影响，偏离目标多少（自己找其它所需数据）?
解：以地球为参考系，导弹除受重力作用外，
ω 还要受离心惯性力和科氏惯性力的作用。离心惯v fk* 性力的方向在速度与重力加速度平面内，不会使× 导弹前进方位偏离，而科氏惯性力的方向垂直速60° fC* 度、重力加速度平面（指向纸面），要使导弹偏离前进方向。
由于导弹速度较大，目标又不是很远，可近似认为导弹做匀速直线运动，导弹击中目标所需时间t=6000/400=15s，在此时间内导弹在科氏惯性力作用下偏离目标的距离：
S?121fk*212mv?2at?2?mt?2?sin60?mt2?v?sin60?t2?400?2?
24?60?60?32?152?5.7m
3.6.1就下面两种受力情况：⑴F??2ti??2?j（N,s）， ⑵F??2ti??(1?t)?j（N,s）分别求出t=0,1/4,1/2,3/4,1时的力并用图
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表示；再求t=0至t=1时间内的冲量，也用图表示。
解：⑴F??2ti??2?j,代入t值得：
y F(0) F(0)?2?j,F?F(1/4) F(1/2) F(3/4) F(1) ?(1?12 4)2i??2?j,F?(12)?i??2?j 1 F?(334)?2i??2?j,F?(1)?2i??2?j
x ?1110 y 1 2 I??F?dt?2i??tdt?2?j?dt?i??2?j
0002 I I?12?22?5Ns1 ,与x轴夹角
α α= arctgIy/Ix = arctg2 = 63.5°
0 1 2 x ⑵ F??2ti??(1?t)?j,代入t值得：
y F?(0)??j,F?(111 4)?2i??34?j,F?(12)?i??12?j F(1/4) F(0) F(1/2) F(3/4) F(1) F?(33x 4)?2i??14?j,F?(1)?2i? 0 1 2 I?1??F?dt?2i?111?tdt??j?dt??j?tdt?i??1?y 2j
00002 I?12?0.52?5/2Ns,与x轴夹角
1 α= arctgIy/Ix = arctg0.5 = 26.5° α I
0 1 2 x 3.6.2一质量为m的质点在o-xy平面上运动，其位置矢量为：
r??acos?ti??bsin?t?j，求质点的动量。
解：质点速度：v??dr?/dt???asin?ti???bcos?t?j
质点动量：p??mv???m?asin?ti??m?bcos?t?j
大小：p?p22x?py?m?a2sin2?t?b2cos2?t
方向：与x轴夹角为θ，tgθ= py/px = - ctgωt·b/a
3.6.3自动步枪连发时每分钟可射出120发子弹，每颗子弹质量为7.9g，出口速率为735m/s，求射击时所需的平均力。
解：枪射出每法子弹所需时间：Δt=60/120=0.5s，对子弹应用动量定理：
F?t??p,F??p/?t?mv/?t?7.9?10?3?735/0.5?11.6N
3.6.4 棒球质量为0.14kg,棒球沿水平方向以速率50m/s投来，经棒击球后，球沿水平成30o飞出，速率为80m/s，球与棒接触时间为0.02s，求棒击球的平均力。 v
解：以地为参考系，把球视为质点， 30o v0 由动量定理，F??t?mv??mv?0，画出矢
量图，由余弦定理，F?t?(m2v2?m2v20?2m2v0vcos30?)1/2，代入数据，可求得F=881N.由正弦定理 mv FΔt mv/sin??F?t/sin30?，代入数据， 30o α 求得sin??0.3179,??18?32' mv0
3.6.5 质量为M的滑块与水平台面间的
静摩擦系数为μ0，质量为m的滑块与M均处M 于静止，绳不可伸长，绳与滑轮质量可不计，不计滑轮轴摩擦。问将m托起多高，松手后可利用绳对M冲力的平均力拖动M？设当m下
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m 第3章 动量定理及其守恒定律 第3章 动量定理及其守恒定律
落h后经过极短的时间Δt后与绳的铅直部分相对静止。
解：以地为参考系，选图示坐标，
先以m为研究对象，它被托起h，再落 y 回原来位置时，速度大小为v?2gh， x
在Δt极短时间内与绳相互作用，速度
又变为零，设作用在m上的平均冲力为F，相对冲力，重力作用可忽略，则由质点动量定理有：F?t?0?(?mv)?mv?m2gh，∴F?m2gh/?t
再以M为研究对象，由于绳、轮质量不计，轴处摩擦不计，绳不可伸长，所以M受到的冲力大小也是F，M受到的最大静摩擦力为fmax=μo Mg，因此,能利用绳对M的平均冲力托动M的条件是： F≥f2max，即m2gh/?t??oMg?h??2oM(?t)2g/2m2
3.6.6质量m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg，m1, m2和m4三个质点的位置坐标顺次是：(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2)，四个质点的质心坐标是：(x,y)=(1,-1)，求m3的位置坐标。
44解：由质心定义式：?mixi??m44?1ixC,?mi?1iyi??mi?1iyC，有
i?1im1x1?m2x2?m3x3?m4x4?(m1?m2?m3?m4)xC1?(?1)?2?(?2)?3x3?4?3?(1?2?3?4)?1,x
3?1m1y1?m2y2?m3y3?m4y4?(m1?m2?m3?m4)yC1?1?2?0?3y3?4?(?2)?(1?2?3?4)?(?1),y3??1
3.7.1 质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大？（分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解）
解：（1）用质点系动量定理解： x 以岸为参考系，把车、船当作质点 F m1 系，该系在水平方向只受缆绳的拉 m2 力F的作用， 应用质点系动量定
理，有FΔt=m1v∴F=m1v/Δt=1500×5/5=1500N
（2）用质心运动定理解：F=(m1+m2)ac ,据质心定义式，有： (m1+m2)ac=m1a1+m2a2 ， a1为车对岸的加速度，a1=(v-0)/Δt=v/Δt， a2为船对地的加速度，据题意a2=0，∴ac=a1m1/(m1+m2)，代入a1， ac=m1v/[(m1+m2)Δt] ，∴F=m1v/Δt=1500N
（3）用牛顿定律解： a2=0 a1
分别分析车、船两个质点的 F f f 受力与运动情况：其中f为
mm 2 1 静摩擦力，a1=v/Δt，对两个质点分别应用牛顿二定律：
f?m1a1?m1v/?t?1500NF?f?0F?f?1500N
3.7.2汽车质量m1=1500kg，驳船质量m2=6000kg，当汽车相对船静止时，由于船尾螺旋桨的转动，可使船载着汽车以加速度0.2ms-2前进. 若正在前进时，汽车自静止开始相对船以加速度0.5ms-2与船前进相反方向行驶，船的加速度如何？
解：⑴用质心定理求解 车相对船
x
无论静止还是运动，螺旋桨的水平推力a' a2 不变，即车、船系统所受外力不变，由质心运动定理可知，车运动时的质心加
速度与车静止时的质心加速度相等aC=0.2m/s2
设车运动时相对船的加速度为a'，相对地的加速度为a1，船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a1?a'?a2, ①
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