第3章 动量定理及其守恒定律 第3章 动量定理及其守恒定律
v2乙的错误：“向心力就是mr”；“飞行一周向心力的冲量等于 F?t?mv22?rrv?2?mv” 应该说：飞行一周向心力的冲量等于零。根据动量定理，
?I?m?v?m?v0，飞行一周时，飞机动量改变为零。如图。
3.21棒球运动员在接球时为何要戴厚而软的手套？篮球运动员接急球时往往持球缩手，这是为什么？
??I?t???t0Fdt解答，根据F??t??t?p?p0t?F??t，??
3.22“质心的定义是质点系质量集中的一点，
它的运动即代表了质点系的运动，若掌握质点系质心的运动，质点系的运动状况就一目了然了。”对否？ 解答，不对。
质心运动情况不能说明质点系内各质点的运动情况。
3.23悬浮在空气中的气球下面吊有软梯，有一人站在上面。最初，均处于静止，后来，人开始向上爬，问气球是否运动？
解答，运动。内力不影响质心的运动，人向上爬，气球向下运动，达到质点系的质心位置不变。
3.24跳伞运动员临着陆时用力向下拉降落伞，这是为什么？ 解答，可达到减少人着陆的速度，减轻地面对人的冲力。
.25质点系动量守恒的条件是什么？在何种情况下，即使外力不为零，也可用动量守恒方程求近似解？
解答，（1）?F?i外?0
（2）外力远远小于内力；外力在某一方向上的投影代数和为零，则
质点系的动量在该方向上守恒。
三、习题解答
3.4.1 质量为2kg的质点的运动学方程为
r??(6t2?1)i??(3t2?3t?1)?j（单位：米，秒）
， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。
解：∵a??d2r?/dt2?12i??6?j, F??ma??24i??12?j 为一
与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。
F=(242+122)1/2=125N，力与x轴之间夹角为：
??arctgFy/Fx?arctg0.5?26?34'
3.4.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程
为：r??acos?ti??bsin?t?j，a,b,ω为正常数，证明作用于质点
的合力总指向原点。
证明：∵a??d2r?/dt2???2(acos?ti??bsin?t?j)???2r? F??ma???m?2r?, ∴作用于质点的合力总指向原点。
3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？
解：以地为参考系，设谷物的质量为m，所受到的最大静摩擦
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力为 f??omg，谷物能获得的最大加速度为 a?f/m??og?0.4?9.8?3.92m/s2 ∴筛面水平方向的加速
度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。
μ1 m 1
μ2 m 2 F
3.4.3 题图 3.4.4题图
3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m1 ,m2,如图所示，m2
和桌面间的摩擦系数为μ2，m1和m2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。
解：以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，
y ffNN1' 2 a1 2 x F 2 a1 f1
mN1' 2g m1g
其中，N1'=N1,f1'=f1=μ1N1,f2=μ2N2，选图示坐标系o-xy，对m1,m2
分别应用牛顿二定律，有
?1N1?m1a1N1?m1g?0F??1N1??2N2?m2a2N2?N1?m2g?0 解方程
组，得 a1??1ga2??F??1m1g??2m1g??2m2g?/m2
要把木板从下面抽出来，必须满足a2?a1，即
F??1m1g??2m1g??2m2g?m2?1g?F???1??2??m1?m2?g
3.4.5 质量为m2的斜面可在光滑的水平面上m1 滑动，斜面倾角为α,质量为m1的运动员与斜面之
间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对αm2 斜面的压力。
x' y 解：
N1 N2
f*=ma1a2 α a' x 2
y' α α N1'=N1
m1g m2g 以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a2），取m1为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中N1为斜面对人的支撑力，f*为惯性力，a'即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程：
??N1?m1gcos??m1a2sin??0?(1)?m
1gsin??m1a2cos??m1a'?(2)再以地为参考系，取m2为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律建立方程：
??N1sin??m2a2?(3)?N （1）、（2）、（3）联立，即2?m2g?N1cos??0?(4)可求得：N2cos?1?m2)sin?1?m1mmm2ga'?(m2?1sin?mm2g 2?1sin?
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3.4.6在图示的装置中两物体的质量各
为m,mm1 12，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F的作用下两物体的m2 F 加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，N1 隔离mf2 f1
N2
1,m2，受力及运动T f1 T F 情况如图示，其中：f1=m1N1 μNag
m2g 1=μm1g，f2=μN2=
a μ(N1+m2g)=μ(m1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：
T??m1g?m1a①F??m1g??(m1?m2)g?T?m2a②
①+②可求得：a?F?2?m1gmm??g
1?2将a代入①中，可求得：T?m1(F?2?m1g)mm
1?2
3.4.7在图示的装置中，物体A,B,C
的质量各为mA B 1,m2,m3，且两两不相等. 若物体A,B与桌面间的摩擦系数为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不
计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不
C 可伸长。
解：以地为参考系，隔离N1
T' N2
A,B,C，受力及运动情况如图示，f1 T T
f2
其中：f1=μN1=μm1g，f2=μN2=
μmg，T'=2T，由于A的位移加Bama3 1g
m2g
21
m3g a2
的位移除2等于C的位移，所以
（a1+a2）/2=a3.
对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：
T??m1g?m1a1①T??m2g?m2a2②m3g?2T?m3(a1?a2)/2③
①,②,③联立，可求得：
a?2m2m3(1??)?1???(m4m???g1?m2)m3?1m2?a???2m1m3(1??)?2?(mm???g
1?m2)m3?41m2?a??(m1?m2)m3(1??)?(m?4m???3??g1?m2)m31m2?3.4.8天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别
系上质量为m1,m2的物体（m1≠m2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。
解：隔离m1,m2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律：
T'?mmm1 m2 1g?m1a①m2g?T'?2a②T?2T' 由①②可求得：
a
T' T a
T' T'?2m1m2g2m1m2m,T?gm 1?m21?m2m1g
m2g T' T' 所以，天平右端的总重量应该等于
T，天平才能保持平衡。
F(N) 3.4.11棒球质量为0.14kg，用棒击Fmax 棒球的力随时间的变化如图所示，设棒
0 0.05 0.08 t(s) 28
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球被击前后速度增量大小为70m/s，求力的最大值，打击时，不计重力。
解：由F—t图可知：
当0?t?0.05时，F?t0.05Fmax当0.05?t?0.08时，F?0.08?t0.03Fmax
[斜截式方程y=kx+b，两点式方程 (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)]
0.080.050.08由动量定理：m?v??Fdt??Fmaxtdt?Fmax0.050.03000.?(0.08?t)dt05
可求得Fmax = 245N
3.4.12 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动）。 F(N) 解：根据推力F-t图像，可知F=4.9t 98 （t≤20）,令F=mg，即4.9t=2×9.8，t=4s
因此，火箭发射可分为三个阶段：t=0—4s
t(s) 为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静
20 止，v=0,y=0；t=4—20s为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s时，y = y1，v = vmax ；t≥20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大高度时的坐标 y=y2.
第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt
Y Y2 Y1 0 dv?F/mdt?gdt?4.9/2tdt?9.8dt?vdv?4.9/2?tt04tdt?9.8?4dt?t?20?v?4.9/4t2?9.8t?4?4.9?t?20?vmax?v(20)?314m/s
?dy?vdt?(4.9/4t2?9.8t?4?4.9)dt??y10dy?4.9/4?2020204t2dt?9.8?4tdt?4?4.9?4dty1?1672m第三阶段运动学方程
v?314?9.8(t?20)(1),y?y1?314(t?20)?4.9(t?20)2(2)
令v=0,由（1）求得达最大高度y2时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)
3.4.13抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=ax2，a为正常数，小环套于弯管上。⑴弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？⑵若为圆形光滑弯管，情况如何？
解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度y 为ω，小环受力及运动情况如图示：α为小环处
切线与x轴夹角，压力N与切线垂直，加速度ω N 大小a=ω2x，方向垂直指向y轴。
a 在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式：
α mg x Ncos(90???)?Nsin??m?2x①Nsin(90???)?Ncos??mg②
①/②得：tgα=ω2x/g ③；由数学知识：tgα=dy/dx=2ax；
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所以，2ax??2x/g,?2?2ag,??2ag
若弯管为半径为R的圆形，圆方程为：x2 + (R-y)2 = R2，即
(R?y)2?R2?x2,R?y?(R2?x2)1/2,y?R?(R2?x2)1/2tg??dy/dx??1(R2?x2)?1/22?(?2x)?x/R2?x2
代入③中，得：x/R2?x2??2x/g,??g/R2?x2
3.4.14北京设有供实验用的高速列车环形铁
x 路，回转半径为9km，将要建设的京沪列车时速
α 250km/h，若在环路上作此项列车实验且欲使铁
N 轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少？设轨距y a mg 1.435m.
l 解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力
α h 及运动情况如图示：车厢速度v=250km/h=69.4m/s，加速度a=v2/R；设轨矩为l，外轨比内轨高h, 有cos??l2?h2/l,sin??h/l
选图示坐标o-xy，对车箱应用牛顿第二定律：
Ncos??Nl2?h2/l?mg①，Nsin??Nh/l?mv2/R②
①/②得：l2?h2/h?gR/v2，两边平方并整理，可求得h：
h?v2l/v4?g2R2?69.42?1.435/69.44?9.82?90002?0.0782m?7.8cm
3.4.15汽车质量为1.2×10kN，在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15°，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t3+20t (m)，自t=5s开始匀速运动，问公路面作用于汽车与
前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？
解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示： v=ds/dt=1.5t2+20，v| t=5 =1.5×52+20=57.5m/s，an=v2/R=57.52/100=33 设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy，应用牛顿第二定律：
αx Ncos??fsin??mgN f Ncos??mg?fsin?①α y an mg Nsin??fcos??ma
nNsin??man?fcos?②α=15°
②/①得：tg??(man?fcos?)/(mg?fsin?)
mgtg??fsin?tg??mam(gtg??an)n?fcos?,f?cos??sin?tg?
?gtg??an?9.8tg15??33??30.43?0,?f?0，说明摩擦力
方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。
3.4.16速度选择器原理如图，在平行板电容器间有匀强电场
E??E?j，又有与之垂直的匀强磁场x B??Bk?。现有带电粒子以速度v??vi?× × × 进入y ×B ×+ v × × × E 场中，问具有何种速度的粒子方能保持沿x
轴运动？此装置用于选出具有特定速度的粒子，并用量纲法则检验计算结果。
解：带电粒子在场中受两个力的作用：电场力F，方向向下；磁场力F，方向向上。
F2=qvB 1=qE2=qvB粒子若沿x轴匀速运动，据牛顿定律：
F1=qE 30