第3章 动量定理及其守恒定律 第3章 动量定理及其守恒定律
由质心定义式可知：m1a1?m2a2?(m1?m2)aC②
将①代入②中，可得：a12?aC?mm1?m2a'，取船前进方向为正，
代入数据：a2?0.2?15001500?6000(?0.5)?0.3m/s2 ⑵用质点系动量定理求解 设船所受的水平推力为F，在车静止
时，可把车、船当作质量为(m1+m2)的质点，加速度为a=0.2，由牛顿第二定律：F?(m1?m2)a①
设车运动时相对船的加速度为a'，相对地的加速度为a1，船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a1?a'?a2,对车、船应用质点系动量定理的导数形式：
F?mdv121dt?mdv2dt?m1a1?m2a2?m1(a'?a2)?m2a2②
令①=②，(m1?m2)a?m1(a'?a2)?m2a2,a2?a?m1m1?m2a',
取船前进方向为正，代入数据：a2?0.2?15001500?6000(?0.5)?0.3m/s2
3.7.3气球下悬软梯，总质量为M，软梯上站一质量为m的人，共同在气球所受浮力F作用下加速上升，当人以相对于软梯的加速度am上升时，气球的加速度如何？
解：由质心定理：F- (m+M)g = (m+M)aC ①
设人相对地的加速度为ax
1，气球相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a1=am+a2，由质心定义式可知：
（m+M）aC = ma1+Ma2=m(am+a2)+Ma2 ②
①②联立，可求得：aF?ma2?mm?M?g
3.7.4水流冲击在静止的涡轮叶片上，水流冲击叶片曲面前后的
速率都等于v，设单位时间投向叶片的水的质量保持不变等于u，求水作用于叶片的力。
解：以水为研究对象，设在Δt时间内质量
为Δm的水投射到叶片上，由动量定理： -v v F?t??m(v2?v1),F??m?t(v2?v1)??2uv
由牛顿第三定律，水作用叶轮的力F'= -F=2uv
3.7.5 70kg重的人和210kg重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了3.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。
解：以地为参考系，选图示坐标o-x,x m1 设人的质量为m1=70kg，人相对地的速度
为vm2 1，相对船的速度为v1’，它们的方向显然与x轴同向；设船的质量为m2=210kg，船相对地的速度为v2，（方向显然与x轴相反）；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度v1=v1’+v2.
由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：m1v1+m2 v2=0，即 m1(v1’+ v2)+m2 v2=0 ，可求得 v2= - v1’m1/(m1+m2)，将上式两边同时乘上相互作用时间Δt，v2Δt=s2为船相对地的位移，v1’Δt=s1’=3.2m，即
s2 = - s1’m1/(m1+m2) = - 3.2×70/(70+210) = - 0.8m
3.7.6 炮车固定在车厢内，最初均处于静止，向右发射一枚弹
丸，车厢向左方运动，弹丸射在对
x L 面墙上后随即顺墙壁落下，问此过
程中车厢移动的距离是多少？已
V M m 知炮车和车厢总质量为M，弹丸质v' 量为m，炮口到对面墙壁的距离为
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L,不计铁轨作用于车厢的阻力。
解：以地为参考系,建立图示坐标o-x，设弹丸出口时相对车的速度为 v’, 对地的速度为v, 车后退的速度为V，据相对运动的速度变换公式，可知：v=v’+V
由于不计路轨对车的摩擦 阻力，所以，在水平方向，弹、 车组成的质点系动量守恒，有 MV+m v=0，将v代入，
MV+m(v’+V)=0，V= -
y v’m/(m+M)
v 设弹发出到与车
v2 v1 壁相碰所用时间为Δ
45o 45o 45o t，用Δt乘上式两边，
x 得：
v3 v VΔt= - v’Δt m/(m+M)，其中：v’Δt= -L，VΔt即为车在此过程中前进的距离S，∴S=Lm/(m+M)
3.7.7载人的切诺基和桑塔纳汽车质
y (北) 量各为m1=165×10kg，和m2=115×10kg，m1 v1 v α 各以速率vx(东) 1=90km/h和v2=108km/h向东和v2 向北行驶，相撞后连在一起滑出，求滑出
m2 的速度，不计摩擦
解：设两车撞后的共同速度为v?，由动量守恒：
m?m??1v1?2v2?(m1?m2)v
向x轴投影：m1v1?(m1?m2)vx
vx?m1165m1?v1??10m2165?10?115?10?92?54.2km/h
向y轴投影：m2v2?(m1?m2)vy
vy?m2m1?m2v2?115?10165?10?115?10?108?44.36km/h
v?v22x?vy?54.22?44.362?70km/h
与x轴夹角??arctgvy/vx?arctg44.36/54.2?39.3?
3.8.1 一枚手榴弹投出方向与水平面成45o，投出的速率为25m/s，在刚要接触与发射点同一水平面的目标时爆炸，设分成质量相等的三块，一块以速度v3铅直朝下，一块顺爆炸处切线方向以v2=15m/s飞出，一块沿法线方向以v1飞出，求v1和v3，不计空气阻力。
解：以地为参考系，把手榴弹视为质点系，由于在爆炸过程中，弹片所受的重力远远小于弹片之间的冲力，因而在爆炸过程中可忽略重力作用，认为质点系动量守恒。
设手榴弹质量为m,爆炸前速度为v，由动量守恒，有：
mv??mv????v???1/3?mv2/3?mv3/3?3v?1?v2?v3，投影方程：
??3vcos45??v1cos45??v2cos45?vsin45??v ，即 ??31sin45??v2sin45??v33v?v1?v2?(1)?3v?v1?v2?v3/sin45??(2)
解得：???v1?3v?v2?3?25?15?90m/s?v
?v3?(3v?v1?2)sin45??902?127m/s
3.8.2铀238的核（质量为238原子质量单位）放射一个α粒子（氦原子的核，质量为4.0原子质量单位）后蜕变为钍234的核，设铀核原来是静止的，α粒子射出时的速率为1.4×107m/s，求钍核反
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冲的速率。
解：由动量守恒，有m钍v钍?m?v??0
vm?v4钍????1.4?107?2.39?105mm/s 钍234
3.8.3 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速度都是v，中间一船同时以水平速度u(相对于此船)把两质量均为m的物体抛到前后两只船上，问当两物体落入船后，三只船的速度各如何？
解：以岸为参考系， M v M v M v 以船前进的方向为坐标
的正方向；设物体抛出 M+m v3 M-2m v2 M+m v1 后，前边船、中间船、 后边船的速度变为v1、 v2、v3，船的质量与速度变化情况如上图所示；在物体抛出的过程中，这个系统的总动量是守恒的，因此：
前边船的动量变化应该等于中间船抛过来的物体的动量，即 (M+m)v1-Mv=m(u+v)，其中(u+v)是向前抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v1=v+um/(m+M)，说明前边船速度变快。
同样，后边船的动量变化也应该等于中间船抛过来的物体的动量，即 (M+m)v3-Mv=m(-u+v)=m(v-u)，其中（v-u）是向后抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v3=v-um/(m+M)，说明后边船速度变慢。
中间船的动量变化应该等于抛出物的动量之和，即
(M-2m)v2-Mv=m(u+v)+m(v-u)，由此式可求得：v2=v，说明中间船的速度没有发生变化。
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