实验二 连续信号卷积与系统的时域分析
一、 实验目的
1．掌握卷积积分的计算方法及其性质。
2．掌握连续时间LTI系统在典型激励信号下的响应及其特征。 3．重点掌握用卷积法计算连续时间LTI系统的零状态响应。
4．运用学到的理论知识，从RC、RL一阶电路的响应中正确区分零输入响应、零状态响应、冲激响应和阶跃响应。
二、 实验原理
描述线性非时变连续时间系统的数学模型是线性常系数微分方程。为了确定一个线性非时变系统在给定初始条件下的完全响应y(t)，就要对该系统列写微分方程表示式，并求出满足初始条件的解。
完全响应y(t)可分为零输入响应与零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统初始状态y(0–)所产生的响应，用yzi(t)表示；零状态响应是系统初始状态为零时仅由激励e(t)所引起的响应，用yzs(t)表示。于是，可以把激励信号与初始状态两种不同因素引起的响应区分开来分别进行计算，然后再叠加，即y(t) = yzi(t) + yzs(t) 。
值得注意的是，我们通常把系统微分方程的解（包括完全响应解、零输入响应解与零状态响应解）限定于0+< t<∞的时间范围，因此不能把初始状态（包括y(0–)、yzi (0–)、yzs(0–)）直接作为微分方程的初始条件，而应当将y(0+)、yzi (0+)、yzs(0+)作为初始条件代入微分方程。由y(0–)、yzi (0–)、yzs(0–)求y(0+)、yzi (0+)、yzs(0+)可采用微分方程两边冲激函数平衡的方法。该方法可参考由高等教育出版社出版，郑君里主编的教材《信号与系统》（第二版）上册第二章的2.3小节。
本实验以一阶RC电路为例，讨论微分方程的建立和求解问题。 如图 2-1所示电路，电压源e(t)作为激励，
+ uc(t) - 若电容两端的电压uc(t)作为响应，则描述系统的
微分方程为：
du(t)RCc?uc(t)?e(t)
dtC e(t)
+ _ i(t) 只要给定e(t)和初始状态uc (0–)的值，就可以
R 求出零输入响应uczi (t)、零状态响应uczs (t)和完全
响应uc (t)。
具体地，当选择电容两端电压uc(t)作为响应，则该电路的 图 2-1 一阶RC电路 单位冲激响应： 单位阶跃响应： 零输入响应：
h?t??s?t??1?e?1RCe1?RCtu?t?
1?RCt?u?t?
ucz?it??uc?0??e1?RCtu?t?
零状态响应：
ucz?st??e?t??h?t?
若C?1F,R?2?,e(t)?e?3tu(t),uc?0???2V,可分析出uc?0???uc?0???2，且可求出零输入响应
uczi(t)?2e?0.5tu?t?，零状态响应
uczs(t)?0.2e?0.5t?e?3tu?t? ，完全响应 uc(t)?2.2e?0.5t?0.2e?3tu?t?。
本实验中激励电压源有下列五种形式：u(t)、sin(t)u(t)、u(t)?u(t?5)、
????e?3tu(t)、?(t)。本实验允许在以下三个物理量中选择一个作为输出量：电容两端
电压uc(t)，电阻两端电压uR(t)，回路电流i(t)。
在线性系统的时域分析方法中，卷积是个极其重要的概念，占有重要地位。
卷积积分的定义为：
f(t)?f1(t)?f2(t)??f(?)f2(t??1????)d???????f2(?)f1(t??)d?
卷积积分的计算过程从几何上可以分为反转、平移、相乘与积分四个步骤。 卷积积分是LTI系统时域分析的基本手段，主要用于求零状态响应。只要知道了系统在单位冲激信号δ(t)作用下的零状态响应即系统的单位冲激响应h(t)，就可以利用卷积积分求出系统在任何激励x(t)作用下的零状态响应：
yzs(t)?x(t)?h(t)??x(?)h(t??)d???h(?)x(t??)d?
???? 也可简记为 yzs(t)?x(t)?h(t)
????三、实验内容及步骤
1。连续时间信号的卷积
实验步骤：
（1）在主界面下单击“连续信号的卷积”按钮，进入该子实验界面，如图2-2所示； （2）通过下拉条选择函数x 并输入参数a、b的值；（本实验提供四种函数：门函数、三角脉冲函数、单位阶跃函数和单位冲激函数）
（3）通过下拉条选择函数y 并输入参数a、b的值；（本实验提供四种函数：门函数、三角脉冲函数、单位阶跃函数和单位冲激函数）
（4）单击“函数x图形”按钮，函数x的图形显示出来； （5）单击“函数y图形”按钮，函数y的图形显示出来；
（6）单击“开始计算”按钮，函数x和函数y卷积的动态过程以及最后卷积的结果
逐步显示出来；
（7）重复（2）至（6）步，可进行另一次实验；
（8）单击“返回”按钮，关闭连续信号卷积实验，返回主界面。
图2-2 连续信号的卷积实验界面
2。连续时间系统的时域分析 实验步骤：
（1） 在主界面下单击“连续时间系统的时域分析”按钮，进入该子实验界面，如
图2-3所示；
（2） 通过下拉条选择输出响应信号的类型；
可以选择电容电压、电阻电压或回路电流作为输出响应函数。
（3） 依次输入电阻R、电容C、电容初始电压u(0–)的值； （4） 单击“单位冲激响应”按钮，显示冲激响应波形。 （5） 单击“单位阶跃响应”按钮，显示阶跃响应波形。 （6） 单击“零状态响应”按钮，显示零状态响应波形。 （7） 单击“全响应”按钮，显示全响应波形。 （8） 重复（2）至（7）步，可进行另一次实验；
（9） 单击“返回”按钮，关闭连续系统时域分析实验，返回主界面。
图2-3 连续时间系统的时域分析实验界面
3。程序设计实验
（1）设x1?t????t?,，x2?t??u?t?，x3?t??u?t??u?t?2?，证明卷积满足如下性质： （a）x1(t)??x2(t)?x3(t)??x1(t)?x2(t)?x1(t)?x3(t) （b）x1(t)?x3(t)?x3(t)
（2）已知某连续LTI系统的微分方程为
d2y?t?dx?t? 4???yt??0.5x?t? 2dtdt 系统的初始状态y?0???2,y??0???1，求系统的冲激响应和全响应。
四．实验结果及分析
1、连续时间信号卷积
经计算，并分析图像趋势，实际值与理论值相符。
2、RC电路系统分析
激励信号：e(t)?u(t)sint