实验四 信号的频域分析
一、 实验目的
1．掌握周期信号傅里叶级数的表示方法，加深对其物理意义的理解。 2．在理论学习的基础上，熟悉信号的合成与分解的原理。 3．了解和认识吉布斯现象。
4．深入理解信号频谱的概念，掌握典型的连续时间信号和离散时间信号的频谱。 5．加深对傅里叶变换主要性质的认识。
二、 实验原理
任何具有确定性的信号都可以表示为随时间变化的物理量，如电压u(t)或电流i(t)等。信号波形幅值的大小、持续时间的长短、变化速率的快慢、波动的速度以及重复周期的大小等，这些特性都是随着时间t变化的，所以称为信号的时域特性。
信号又可以分解为一个直流分量和许多具有不同频率的正弦分量之和。各频率正弦分量所占的比重的大小不同，主要频率分量所占有的频率范围也不同，这些特性被称为是信号的频域特性。
无论是信号的时域特性，还是频域特性，都包含了信号的全部信息。
根据周期信号的傅里叶级数(FS)理论，任何周期信号只要满足Dirichlet条件就可以分解成为一个直流分量和许多具有谐波关系的指数分量之和（指数型傅里叶级数），或者一个直流分量和许多具有谐波关系的正弦、余弦分量之和（三角型傅里叶级数）。例如周期方波信号可以分解称为如下形式：
x(t)?4E?111??sin?1t?sin3?1t?sin5?1t?sin7?1t??? ??357? 反过来，由基波和各次谐波分量叠加也可以产生一个周期方波信号来。至于叠
加出来的信号与原始信号的误差，则取决于傅里叶级数的项数。
根据傅里叶级数的理论，任意周期信号表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限级数。合成波形所包含的谐波分量越多，除间断点附近外，它越接近于原始信号，在间断点附近，随着所含谐波次数的增高，合成波形的峰起越靠近间断点，但峰起的幅度并未随着谐波次数的增高而明显减小，而是保持间断点处跳变量的9%左右，这就是所谓吉布斯现象（Gibbs）。
将各谐波分量的系数对nΩ的关系绘成线图便可清楚而直观地看出各频率分量的振幅大小和相位关系，这种图称为周期信号的频谱图。频谱图包括幅度频谱图和相位频谱图。幅度频谱图中每一条谱线都代表着某一频率分量的振幅。连接各谱线顶点的曲线称为包络线（一般用虚线表示），它反映各分量的幅度变化情况。
把上述理论推广到非周期信号中去，就可导出傅里叶变换。 对于连续的非周期信号，其傅里叶变换及其反变换定义如下：
X?j????x?t?e?j?tdt x?t??????12??????X?j??ej?td?
对于离散的非周期信号，其傅里叶变换及其反变换定义如下：
Xe???j?n????x?n?e?j?n x?n????12??2?Xej?ej?nd?
??其中，X?j??和Xej?分别是连续时间函数x(t)和离散时间函数x[n]的傅里叶变换，又称为频谱函数，它们都是复函数，可以分别写成X?j???X?j??ej??????和
Xej??Xej?ej????。它们的模量X?j??和Xej?是频率的函数，代表信号
中各频率分量的相对大小；相角????和????也是频率的函数，代表相应频率分量的相位。
连续信号的频谱函数X?j??与离散信号的频谱函数Xej?最大的区别在于：
????????X?j??一般不是周期的，而Xej?是个以2?为周期的函数，从而导致Xej?和
????????都是以2?为周期的函数。
为了与周期信号的频谱相一致，人们习惯上把X?j??~?、Xej?~?和
??????~?、????~?曲线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱。容易看出，
它们在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。
本实验包含了信号与系统课程中常见信号的傅里叶变换对。实验者可以任意选择函数，并输入适当的参数，观察到信号的幅度频谱和相位频谱，从而对信号的频域特性有一个更具体深入的认识。还可以验证傅里叶变换的主要性质，使实验者能够直观地了解信号的时域、频域变换之间的关系，加深对信号频谱的理解。
三。实验内容及步骤
1。连续周期信号的合成与分解 实验步骤：
（1）在主界面下单击“连续周期信号的合成与分解”按钮，进入该子实验界面，如图4-1所示；
（2）选择波形；（本实验提供两种周期信号：方波和三角波）
（3）依次输入谐波次数N、信号幅度、信号周期T和显示周期M等参数的值； （4）单击“波形”按钮，观察所选周期函数的波形；
（5）单击“分解”按钮，观察周期信号分解之后得到的N个谐波分量的波形； （6）单击“合成”按钮，观察由N个谐波分量叠加构成的周期信号，注意有无Gibbs
现象；
（7）重复（2）至（6）步，可进行另一次实验；
（8）单击“返回”按钮，关闭连续周期信号的合成与分解实验，返回主界面。
2。连续时间信号的傅里叶变换 实验步骤：
（1）在主界面下单击“连续时间信号的傅里叶变换”按钮，进入该子实验界面，如
图4-2所示；
图4-1 连续周期信号的合成与分解实验界面
（2）选择函数并输入参数值；（本实验提供八种函数：阶跃函数au(t?b)、冲激函
数a?(t)、抽样函数asin?bt??t、单边指数函数ae?btu(t)?b?0?、门函数
a?u(t?b)?u(t?b)?、三角波、单边衰减正弦函数e?atsin?bt?u(t)?a?0?、单边指数脉冲函数ate?btu(t)?b?0?）
图4-2 连续时间信号的傅里叶变换实验界面
（3）输入时域波形的显示范围；
（4）单击“原函数”按钮，显示所选函数的波形； （5）输入幅度谱的频率显示范围；
（6）单击“幅度谱”按钮，显示所选函数的幅度频谱曲线； （7）输入相位谱的频率显示范围；
（8）单击“相位谱”按钮，显示所选函数的相位频谱曲线； （9）重复（2）至（8）步，可进行另一次实验；
（10）单击“返回”按钮，关闭连续时间信号的傅里叶变换实验，返回主界面。
3。离散时间信号的傅里叶变换 实验步骤：
（1）在主界面下单击“离散时间信号的傅里叶变换”按钮，进入该子实验界面，如
图4-3所示； （2）选择函数并输入参数值；（本实验提供七种函数：单边指数序列anu?n??a?1?、
单位函数??n?、双边指数序列an?0?a?1?、抽样序列asin?bn??n、指数序
列ae?bnu?n??b?0?、矩形序列u[n?b]?u[n?b]、单边指数脉冲序列
?n?1?anu?n??0?a?1?）
图4-3 离散时间信号的傅里叶变换实验界面
（3）输入时域图形的显示范围；
（4）单击“原函数”按钮，显示所选序列的图形； （5）输入幅度谱的频率显示范围；