实验六 系统的频域分析
一、 实验目的
1．掌握由系统函数确定系统频率特性的方法。
2．理解系统的频率特性及其幅度特性、相位特性的物理意义。 3．深入理解离散系统频率特性和对称性和周期性。 4．通过本实验了解低通、高通、带通、全通滤波器以及最小相移网络的性能及特点。
二、 实验原理
频域分析法与时域分析法的不同之处主要在于信号分解的单元函数不同。在频域分析法中，信号分解成一系列不同幅度、不同频率的等幅正弦函数，通过求取对每一单元激励所产生的响应，并将响应叠加，再转换到时域以得到系统的总响应。所以说，频域分析法是一种变域分析法。它把时域中求解响应的问题通过傅里叶级数或傅里叶变换转换成频域中的问题；在频域中求解后再转换回时域从而得到最终结果。在实际应用中，多使用另一种变域分析法：对于连续时间系统而言，就是所谓的复频域分析法，即拉普拉斯变换分析法；对于离散时间系统而言，就是所谓的z变换分析法。
系统的频域分析是指通过系统的频率响应函数研究系统的频域特性。所谓频率特性，也称频率响应特性，是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括幅度随频率变化的响应和相位随频率变化的响应两个方面。频率特性完全反映了系统自身的频域特性，它是系统单位冲激响应(单位函数响应)的傅里叶变换。利用系统函数可以确定系统频率特性，二者关系如下：
连续时间系统： H?j???H?s?s?j??H?j??ej???? 离散时间系统： Hej??H?z?z?ej??Hej?ej????
幅度响应用H?j??或Hej?表示，相位响应用????或????表示。
注意Hej?是频率的周期函数，且周期为2?，因此Hej?和????均为周期函数，且研究离散系统的频率特性只需要研究??????（或者0???2?）范围内就可以了。又由于当单位函数响应h[n]为实函数时，Hej?是?的实偶函数，
????????????????是?的实奇函数，所以实际上研究H?ej??和????特性只要在0????范围
内即可。深入理解离散系统的频率特性的对称性和周期性十分重要。
本实验所研究的系统函数H(s)（或H(z)）是有理函数，也就是说分子、分母分别是m、n阶多项式。一般形式如下：
连续时间系统： H?s???bisi?ajsjj?0i?0nm
离散时间系统： H?z???bizi?ajzjj?0i?0nm
要计算频率特性，可以写出
i??bj??im连续时间系统： H?j???H?s?s?j???aj?j??jj?0mi?0n
离散时间系统： Hej??H?z?z?ej?????biej?i?0nj?0??i?ajej???j
可以用代数的方法计算出H?j??（或Hej?）和????（或????）值，利用棣莫佛公式：
??s?jsin???cosn??jsinn? ?co?n???n?n????n?jsin且j????cos?jsin?，则?j????n?cos。 ?22?22???利用这些公式可以化简高次幂，因此分子和分母的复数多项式就可以转化为分
别对实部与虚部的实数运算，算出分子、分母的实部、虚部值后，最后就可以计算出幅度和相位的值了。
也可以借助几何方法，利用系统函数零、极点分布图确定系统的频率特性，具体方法在信号与系统教材中有详细讨论，这里不再叙述。
下面几种连续滤波系统的系统函数，实验者可以实验验证。
(1) 一阶高通滤波器 H?s??(2) 二阶带通滤波器 H?s??s s?1s?s?1??s?2?s?1 s?1
(3) 一阶全通滤波器 H?s??(4) 二阶Butterworth滤波器 H?s??(5) 最小相移网络 H?s??1
2s?2s?1?s??1?j???s??1?j?? ?s??2?2j???s??2?2j??同时也给出几种离散滤波系统的系统函数，实验者可以自行验证。 （1）H?z??z z?a当0?a?1时，系统呈现低通特性；当?1?a?0时，系统呈现高通特性；当a?0时，系统呈现全通特性。
（2）H?z??1?z?21?0.81z?2
1?z?1（3）H?z?? ?21?0.81z0.1z3?0.3z2?0.3z?0.1（4）H?z?? 32z?0.6z?0.4z?0.1
三。实验内容及步骤
1。连续系统的频域分析 实验步骤：
（1）在主界面下单击“连续系统的频域分析”按钮，进入该子实验界面，如图6-1
所示；
（2）按照s的降幂顺序，分别输入分子多项式和分母多项式的系数向量；
2 如：多项式s?2s?3，输入顺序为[1 2 3]。
（3）单击“系统零极图”按钮，观察系统函数的零点、极点分布图； （4）单击“系统幅频特性曲线”按钮，观察系统的幅频响应； （5）单击“系统相频特性曲线”按钮，观察系统的相频响应； （6）重复（2）至（5）步，可进行另一次实验；
（7）单击“返回”按钮，关闭连续系统的频域分析实验，返回主界面。
2。离散系统的频域分析 实验步骤：
（1）在主界面下单击“离散系统的频域分析”按钮，进入该子实验界面，如图6-2
所示；
（2）按照z的降幂顺序，分别输入分子多项式和分母多项式的系数向量； 如：多项式z?4z?2，输入顺序为[1 4 2]。
2（3）单击“系统零极图”按钮，观察系统函数的零点、极点分布图； （4）单击“系统幅频特性曲线”按钮，观察系统的幅频响应； （5）单击“系统相频特性曲线”按钮，观察系统的相频响应； （6）重复（2）至（5）步，可进行另一次实验；
（7）单击“返回”按钮，关闭离散系统的频域分析实验，返回主界面。
图6-1连续系统的频域分析实验界面
图6-2离散系统的频域分析实验界面
3。程序设计实验
（1）试分别绘制下列系统函数的零、极点图，并判断系统的稳定性。
ss2?2s?1??Hs? (a) H?s??4 (b) 232s?s?12s?3s?4s?s?21?z?13z3?5z2?10z (c) H?z?? (d) H?z??3 ?1?224?2z?zz?3z?7z?5（2）编程实现以下系统的频域分析： H?s??制一组曲线m = 0.1，0.3，0.5，0.7，0.9。
1?m?ms?m2?，m取值区间[0,1]，绘
四．实验结果及分析
1、连续系统分析
s2?2s?3?0 系统函数：24s?5s?6极点：s1??571571?j, s2???j 8888零点：s1??1?j2, s2??1?j2
2、离散系统分析
z2?2z?3?0 系统函数：24z?5z?6极点：z1??571571?j, z2???j 8888零点：z1??1?j2, z2??1?j2