（2）A点的场强为 B点的电势为
?UEA??A?0．
?rAB点的场强为
UB??E?dl??Edr
rBrB???UBR13?EB???(r?2)．
?rB3?0BrB[讨论] 过空腔中A点作一半径为r的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空腔中A点场强为
E = 0， (r≦R1)．
过球壳中B点作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为
?3?(R2?R13)R13?dr ??(r?2)dr??23?0rrR2r3?0R2B
R13?22?(3R2?rB?2)． 6?0rB4V??(r3?R13)，
3包含的电量为 q = ρV，
根据高斯定理得方程 4πr2E = q/ε0， 可得B点的场强为
R13?E?(r?2)， (R1≦r≦R2)．
3?0r这两个结果与上面计算的结果相同．
在球壳外面作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为
43V??(R2?R13)，
3包含的电量为 q = ρV，
根据高斯定理得可得球壳外的场强为
3?(R2?R13)，(R2≦r)． E??224??0r3?0rqA点的电势为
UA??E?dl??Edr
rArA??R13???0dr??(r?2)dr
rrR3?0A1R1R2A和B点的电势与前面计算的结果相同．
13．19 一圆盘，半径为R，均匀带电，面电荷密度为ζ，求：
（1）圆盘轴线上任一点的电势（用该点与盘心的距离x来表示）；
（2）从电场强度的和电势梯度的关系，求该点的电场强度．
（此题解答与书中P38页例13．13的解答相同，在此省略）
13．20 （1）设地球表面附近的场强约为200V·m-1，方向指向地球中心，试求地球所带有的总电量．
（2）在离地面1400m高处，场强降为20V·m-1，方向仍指向地球中心，试计算在1400m下大气层里的平均电荷密度．
[解答]地球的平均半径为
R =6.371×106m．
（1）将地球当作导体，电荷分布在地球表面，由于场强方向指向地面，所以地球带负量．
根据公式 E = -ζ/ε0， 电荷面密度为 ζ = -ε0E； 地球表面积为 S = 4πR2， 地球所带有的总电量为
Q = ζS = -4πε0R2E = -R2E/k，
k是静电力常量，因此电量为
3?(R2?R13)??dr 23?0rR2?(6.371?106)2?2005
Q??=-9.02×10(C)99?10．
（2）在离地面高为h = 1400m的球面内的电量为
?2?(R2?R12)． 2?010
(R?h)2E`=-0.9×105(C)， Q`??k大气层中的电荷为
q = Q - Q` = 8.12×105(C)．
由于大气层的厚度远小于地球的半径，其体积约为
V = 4πR2h = 0.714×1018(m3)， 平均电荷密度为
ρ = q/V = 1.137×10-12(C·m-3)．
第十四章 静电场中的导体
和电介质
P80．
14．1 一带电量为q，半径为rA的金
属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，rC A 则图中P点的电场强rB o 度如何？若用导线将
rA P A和B连接起来，则
B A球的电势为多少？（设无穷远处电势为图14.1 零）
[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得 E4πr2 = q/ε0， 可得P点的电场强度为
14．2 同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？
[解答]介质中的
r R2 S1 电场强度和电位移R1 是轴对称分布的．在
D 内外半径之间作一l 个半径为r、长为lS0 εr 的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电S2 位移通过等于该面
包含的自由电荷，即 Φd = q = λl．
设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为
?d???SD?dS
??D?dS??D?dS??D?dS?2?rlD，
S0S1S2E?q4??0r2．
当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q
时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为
可得电位移为 D = λ/2πr， 其方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr， 方向也垂直中心轴向外．
14．3 金属
球壳原来带有电量b Q，壳内外半径分别o a 为a、b，壳内距球r q 心为r处有一点电
荷q，求球心o的电
图14.3 势为多少？
[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为
U?q4??0rcUo?
11
．
1q1?q1Q?q ??4??0r4??0a4??0b
q1 q2
P
q 14．4 三块平行金属板A、B和C，面积都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q = 3×10-8C，
B A C 忽略边缘效应．求 （1）B、Cq 板上的电荷为多少？
（2）A板电势为多少？ 图14.4
[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为ζ1和ζ2，所带电量分别为
q1 = ζ1S和q2 = ζ2S，
在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程
q = q1 + q2 = ζ1S + ζ2S． ① A、B间的场强为 E1 = ζ1/ε0， A、C间的场强为 E2 = ζ2/ε0．
设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则
ΔU = E1d1 = E2d2， ②
即 ζ1d1 = ζ2d2． ③
解联立方程①和③得
ζ1 = qd2/S(d1 + d2)，
所以 q1 = ζ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)；
q2 = q - q1 = 1×10-8(C)．
B、C板上的电荷分别为
qB = -q1 = -2×10-8(C)； qC = -q2 = -1×10-8(C)． (2)两板电势差为
ΔU = E1d1 = ζ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0， 所以 ε0 = 10-9/36π，
因此 ΔU = 144π = 452.4(V)． 由于B板和C板的电势为零，所以
UA = ΔU = 452.4(V)．
14．5 一无限大均匀带电平面A，带
电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？
[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得
B A q1 + q2 =
图14.5 0． ①
虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为
ζ1 = q1/S、ζ2 = q2/S、ζ = q/S， 它们产生的场强大小分别为
E1 = ζ1/ε0、E2 = ζ2/ε0、E = ζ/ε0． 在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得
E1 - E2 – E = 0，
即 ζ1 - ζ2 – ζ = 0，
或者说 q1 - q2 + q = 0． ② 解得电量分别为
q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．
14．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为
ζ ζ ζ3 ζ4 120V，两板间相距为121.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？
[解答]由于左板接
图14.6
地，所以ζ1 = 0．
由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以ζ4 = 0．
由于两板带等量异号的电荷，所以
ζ2 = -ζ3．
两板之间的场强为
E = ζ3/ε0，
而 E = U/d， 所以面电荷密度分别为
ζ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)， ζ2 = -ζ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．
14．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间
24??0R2电容可用公式C?表示．
R2?R1（提示：可看作两个球电容器的并联，
12
且地球半径R>>R2）
[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为
负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．
取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为
R2 o R1 U??E?dl??Edr
R2R2R1R1R3 ??(?R2R1R1q)dr 24??0R2rC1?4??0RR1?4??012
1/R1?1/R2R2?R1?R1q11(R?R)q(?)?212
4??0R2R1R24??0R22q4??0R2． C??UR2?R1外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为
球面间的电容为
C2?4??01．
1/R2?1/R3
14．8 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？
[解答]球形电容器的电容为
R2 R1 o εr 图14.8 外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为
RRC?C1?C2?4??012?4??0R2
R2?R124??0R2． ?R2?R1C?4??0方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为
RR1?4??012．
1/R1?1/R2R2?R1对于半球来说，由于相对面积减少了
一半，所以电容也减少一半：
C1?q4??0R2?q`?0，
4??0R12??0R1R2．
R2?R1当电容器中充满介质时，电容为：
因此感应电荷为
C2?q`??R1q． R22??0?rR1R2． R2?R1由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：
根据高斯定理可得两球壳之间的场强为
C?C1?C2?E?R1qq`， ??224??0r4??0R2r13
2??0(1??r)R1R2．
R2?R1 14．9 设板面积为S的平板电容器析板
间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容．
[解答]假设在
两介质的介面插入d1 ε1 一薄导体，可知两d2 ε2 个电容器串联，电
图14.9 容分别为
C1 = ε1S/d1和C2 = ε2S/d2． 总电容的倒数为
方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr， 方向也垂直中心轴向外．
取一条电力线为积分路径，电势差为
U??E?dl??Edr??LLR2?dr 2??rR1?dd?d??d111???1?2?2112CC1C2?1S?2S?1?2S，
R?ln2． 2??R1电容为 C?q2??l． ?Uln(R2/R1)?1?2S．
总电容为 C??2d1??1d2
14．10 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：
（1）两极的电势差U；
（2）介质中的电场强度E、电位移D； （3）电容C，它是真空时电容的多少倍？
[解答]介质中
r 的电场强度和电位R2 S1 R1 移是轴对称分布
D 的．在内外半径之
l 间作一个半径为r、
S0 ε 长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，
上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为
在真空时的电容为
C0?2??0lq， ?Uln(R2/R1)所以倍数为C/C0 = ε/ε0．
14．11 在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：
（1）介质层内、外D、E、P的分布； （2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．
[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为
2?d?蜒D?dS?DdS?4?rD ?S?SS2 ?d???SD?dS
??D?dS??D?dS??D?dS?2?rlDS0S1S2高斯面包围的自由电荷为q = Q0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = Q0/4πr2， 方向沿着径向．用矢量表示为
D = Q0r/4πr3．
电场强度为
E = D/ε0εr = Q0r/4πε0εrr3， 方向沿着径向．
由于 D = ε0E + P， 所以 P = D - ε0E = (1?，
高斯面包围的自由电荷为 q = λl， 根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = λ/2πr，
1Q0r． )?r4?r3在介质之外是真空，真空可当作介电
14