个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距太近，其曲线就是更高的凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会下凹，与两边的峰之间各有一个拐点．当它们由远而近到最适当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀，而拐点处的二阶导数为零．
设k = μ0IR2/2，则
?2ax?x2?3/2同理，B2?k(1?)．
R2?a2当x很小时，二项式展开公式为
(1?x)n?1?nx?n(n?1)2x?...． 1?2将B1和B2按二项式展开，保留二次项，总场强为
11B?k{2?}
23/2223/2?32ax?x2B?k[1??? [R?(a?x)][R?(a?x)]B对x求一阶导数得
dBdx??3k{a?x[R2?(a?x)2]5/2， ?a?x[R2?(a?x)2]5/2} 求二阶导数得
d2Bdx2??3k{R2?4(a?x)2[R2?(a?x)2]7/2 ?R2?4(a?x)2[R2?(a?x)2]7/2}， 在x = 0处d2B/dx2 = 0，得R2 = 4a2，所以
2a = R．
x = 0处的场强为
B?k2[R2?(R/22)3]/ 2?k168?0I55R3?55R． 方法二：用二项式展开．将B1展开得B1??0IR22[R2?a2?2ax?x2]3/2
??0IR22(R2?a2)3/2[1?(2ax?x2)/(R2?a2)]3/2． 设k??0IR22(R2?a2)3/2，则
2ax?x2B??3/21?k(1R2?a2)． 2R2?a2?1?3?52ax?1?2?2?2(x22R2?a2)?...] k[1??3?2ax?x2?2?R2?a2?
1?3?5?2ax?x2?1?2?2?2(R2?a2)2?...] ?3x2?2k[1?2?R2?a2??3?54a2x2?2?4?(R2?a2)2?...] ?2k[1??32?R2?4a22(R2?a2)2x?...]
令R2 - 4a2 = 0，即a = R/2，得
B?2k??0IR285?0I(R2?a2)3/2?25R， 可知：O点附近为均强磁场．
15．8 将半径为R的无限长导体圆柱面，沿轴向割去一宽为h(h< [解答]方法一：补缺法．导体圆柱面可看作由很多无限长直导线组成，如果补上长缝，由于对称的缘故，电流在轴线上产生的磁感应强度为零．割去长缝，等效于同时加上两个大小相等，方向相反的电流，其中，与i相同的电流补上了长缝，与i相反的电流大小为I = ih． 20 o R i 在轴线上产生的磁感应强度为 示．求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B = ？ [解答]取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外． 半圆的周长为 C = πR， 电流线密度为 i = I/C = IπR． 在半圆上取 y 一线元dl = Rdφ代表 dBy dB 无限长直导线的截 φ R 面，电流元为 odBx x dI = idl = Idφ/π， 在轴线上产生的磁感应强度为 h o` 图15.8` B?． ?0I?0ih?2?R2?R方法二：积分法．在导体的截面上建立坐标，x坐标轴平分角α，α = h/R． 电流垂直纸面向 y 外，在圆弧上取一 ds 线元 R ds = Rdθ， θ dBx α o 无限长直线电流为 x dBy dB dI = ids = iRdθ， 在轴线产生的磁感应强度大小为 dB??0dI?0Id?， ?2?R2?2RdB??0dI?0i， ?d?2?R2?两个分量分别为 方向与径向垂直．dB的两个分量为 dBx = dBcosφ，dBy = dBsinφ． 积分得 ??0I?0IBx??2cos?d??2sin??02?R002?R?dBx?dBsin???0isin?d?， 2??idBy??dBcos???0cos?d?． 2?2???/2， 积分得 ?0i2???/2?0iBx?sin?d???cos?2???2?/2??； ?/2By????0Isin?d? 22?R0?0i[cos(2???/2)?cos(?/2)]?02???0I?0I． ?2(?cos?)?22?R?R0由对称性也可知Bx = 0，所以磁感应强度 B = By = 6.4×10-5(T)， 2???/22???/2?i?i By??0cos?d???0sin?方向沿着y正向． 2??/22??/2 ?i15．10 宽度 x P ??0[sin(2???/2)?sin(?/2)] 为a的薄长金属板2??i?ih中通有电流I，电流??iI a ?02sin?0??0． 沿薄板宽度方向均2?22?2?R图15.10 By的方向沿着y方向．By的大小和方向正是匀分布．求在薄板 无限长直线电流ih产生的磁感应强度． 所在平面内距板的 边缘为x的P点处的磁感应强度（如图所15．9 在半径为示）． R = 1.0cm的无限长[解答]电流分布在薄板的表面上，单位 R 半圆柱形导体面中均长度上电流密度，即面电流的线密度为 匀地通有电流δ = I/a， PI x I=5.0A，如图所以板的下边缘 dl dI a I l 21 o 图15.9 ?为原点，在薄板上取一宽度为dl的通电导线，电流强度为 dI = δdl， 在P点产生磁感应强度为 方向沿着x的反方向，积分得O点的磁感应强度为 dB??0dI?0?dl， ?2?r2?(x?a?l)?0NI?/22B?sin?d? ?R?0磁场方向垂直纸面向外．由于每根电流产 生的磁场方向相同，总磁场为 ?0NI?/2?0NI． ?(1?cos2?)d??2?R?4R0 15．12 两个共面的平面带电圆环，其内外半径分别为R1、R2和R3、R4(R1 < R2 < R3 < R4)，外面圆环以每秒钟n2转 R3 的转速顺时针转 R1 动，里面圆环以 R2 每称n1转逆时针 R4 转动，若两圆环电荷面密度均为ζ，求n1和n2的比图15.12 值多大时，圆心处的磁感应强度为零． [解答]半径为r的圆电流在圆心处产生的磁感应强度为 B = μ0I/2r． 在半径为R1和R2的环上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为dS = 2πrdr， 所带的电量为 dq = ζdS = 2πζrdr， 圆环转动的周期为 T1 = 1/n1， 形成的电流元为 dI = dq/T1 = 2πn1ζrdr． 薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为 dB1 = μ0dI/2r = πμ0n1ζdr， 圆环在圆心产生磁感应强度为 B1 = πμ0n1ζ(R2-R1)． 同理，半径为R3和R4的圆环在圆心处产生的磁感应强度为 B2 = πμ0n2ζ(R4-R3)． 由于两环的转动方向相反，在圆心产生的磁感应强度也相反，当它们大小相同时，圆心处的磁感应强度为零，即： πμ0n1ζ(R2-R1) = πμ0n2ζ(R4-R3)， 解得比值为 B??a?0?dl02?(x?a?l) ????0ln(x?a?l)2??a l?0?0Ialn(1?)． 2?ax[讨论]当a趋于零时，薄板就变成直 线，因此 B??0Iln(1?a/x)?0I， ?2?xa/x2?x这就是直线电流产生的磁场强度的公式． 15．11 在半径为R的木球上紧密地绕有细导 I 线，相邻线圈可视为相互 R O 平行，盖住半个球面，如图所示．设导线中电流为 图15.11 I，总匝数为N，求球心O 处的磁感应强度B = ？ [解答]四分之一圆的y 弧长为 C = πR/2， R 单位弧长上线圈匝数为 θ n = N/C = 2N/πR． x dB o在四分之一圆上取一弧元 dl = Rdθ， 线圈匝数为 dN = ndl = nRdθ， 环电流大小为 dI = IdN = nIRdθ． 环电流的半径为 y = Rsinθ， 离O点的距离为 x = Rcosθ， 在O点产生的磁感应强度为 dB??0y2dI32R2?NI?0sin2?d?， ?R??0nIsin2?d? R?R3n1． = 4n2R2?R1 22 15．13 半径为R的无限R 长直圆柱导体，通以电流I，电流在截面上分布不均匀， I 电流密度δ = kr，求：导体内 磁感应强度？ [解答]在圆柱体内取一半径为r、宽度为dr的薄圆环，图15.13 其面积为 dS = 2πrdr， 电流元为 dI = δdS = 2πkr2dr， 从0到r积分得薄环包围的电流强度为 Ir = 2πkr3/3； 从0到R积分得全部电流强度 I = 2πkR3/3， 因此Ir/I = r3/R3． 根据安培环路定理可得导体内的磁感应强度 15．15 二条 dx I2 I1 长直载流导线与一长方形线圈共面，l x 如图所示．已知a o= b = c = 10cm，l = 10m，I1 = I2 = c a b 100A，求通过线 图15.15 圈的磁通量． [解答]电流I1和I2在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里的，在坐标系中的x点，它们共同产生的磁感应强度大小为 B?． ?0I12?(a?b/2?x)??0I22?(c?b/2?x)在矩形中取一面积元dS = ldx， 通过面积元的磁通量为dΦ = BdS = Bldx， 通过线圈的磁通量为 B??0Ir?I?03r2． 2?r2?R 15．14 有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量Q，半径 ω 为a，可绕盘心且 a与盘面垂直的轴转o 动，设角速度为ω．求圆盘中心o的 图15.14 磁感应强度B = ？ [解答]圆盘面积为 S = πa2， 面电荷密度为 ζ = Q/S = Q/πa2． 在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为 dS = 2πrdr， 所带的电量为 dq = ζdS = 2πζrdr． 薄圆环转动的周期为 T = 2π/ω， 形成的电流元为 dI = dq/T = ωζrdr． 薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为 dB = μ0dI/2r = μ0ωζdr/2， 从o到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为 B = μ0ωζa/2 = μ0ωQ/2πa． 如果圆盘带正电，则磁场方向向上． 23 ?0lb/2I1I2??(?)dx ?2??b/2a?b/2?xc?b/2?x??0la?bc(I1ln?I1ln) 2?ac?b=2×10-7×10×100×2ln2=2.77×10-4(Wb)． 15．16 一电子在 B 垂直于均匀磁场的方向 R 做半径为R = 1.2cm的 o 圆周运动，电子速度v v = 104m·s-1．求圆轨道内 所包围的磁通量是多 图15.16 少？ [解答]电子所带的电量为e = 1.6×10-19 库仑，质量为m = 9.1×10-31千克． 电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力，即： f = evB = mv2/R， 所以 B = mv/eR． 电子轨道所包围的面积为 S = πR2， 磁通量为 Φ = BS = πmvR/e =2.14×10-9(Wb)． 15．17 同轴电缆由导体圆柱和一同轴导体薄圆筒构成，电流IR1 dr R2 从一导体流入，从另一 l I I 图15.17 导体流出，且导体上电流均匀分布在其横截面积上，设圆柱半径为R1，圆筒半径为R2，如图所示．求： （1）磁感应强度B的分布； （2）在圆柱和圆筒之间单位长度截面的磁通量为多少？ [解答（]1）导体圆柱的面积为 S = πR12， 面电流密度为 δ = I/S = I/πR12． 在圆柱以半径r作一圆形环路，其面积为 Sr = πr2， 包围的电流是 Ir = δSr = Ir2/R12． 根据安培环路定理 应强度B的值； （2）若要获得与载流为I，单位长度匝数n的长螺线管内部磁场相等的均匀磁场，a应满足什么条件？ （1）[证明]导体中的电流垂直纸面向外，电流密度为 ??I． 22?(R?a)??B?dl???I??IL00r， 由于B与环路方向相同，积分得2πrB = μ0Ir， 所以磁感应强度为 B = μ0Ir/2πR12，(0 < r < R1)． 在两导体之间作一半径为r的圆形环中，所包围的电流为I，根据安培环中定理可得 B = μ0I/2πr，(R1 < r < R2)． 在圆筒之外作一半径为r的圆形环中，由于圆柱和圆筒通过的电流相反，所包围的电流为零，根据安培环中定理可得 B = 0，(r > R2)． （2）在圆柱和圆筒之间离轴线r处作一径向的长为l = 1、宽为dr的矩形，其面积为 dS = ldr = dr， 方向与磁力线的方向一致，通过矩形的磁通量为 dΦ = BdS = Bdr， 总磁通量为 长孔中没有电流，可以当作Br B θ 通有相反电流的 R P r 导体，两个电流φ r` Br` Ob O`密度的大小都为 a δ，这样，长孔中 磁场是两个均匀分布的圆形电流产生的． 如果在圆形截面中过任意点P取一个半径为r的同心圆，其面积为 S = πr2， 包围的电流为 ΣI = δS = πr2δ， 根据安培环路定理可得方程 2πrBr = μ0ΣI， 磁感应强度为 Br??0?I?0??r， 2?r2方向与矢径r垂直． 同理，密度为-δ的电流在P点产生的磁感应强度为 Br`??0?2r`， ?I1?IR??0?dr?0ln22?Rr2?R11R2方向与矢径r`垂直． 设两个磁感应强度之间的夹角为θ，则合场强的平方为 ． B2?Br2?Br2`?2BrBr`cos? B2?( 15．18 一长直载流导体，具有半径为R的圆形横截面，在其内部有与导体相切，半径为a的圆柱形长孔，其轴与导体轴平行，相距b = R – a，导体截有均匀分布的电流I． （1）证明空孔内的磁场为均匀场并求出磁感R b a * ?0?2)2(r2?r`2?2rr`cos?)． 根据余弦定理，如图可知： b2?r2?r`2?2rr`cos?， 由于φ = π - θ，所以 B??0?， b2由于b和δ都是常量，可见：长孔中是均匀 OO`24 图15.18