B r x I 在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t = 0时，x = 0，求下列两情形，框架内的感应电动势εi．
（1）磁场分布均匀，且B不随时间改变；
（2）非均匀的交变磁场B = Kxcosωt． [解答]（1）经过时间t，导体杆前进的距离为 x = vt，
杆的有效长度为 l = xtanθ = v(tanθ)t， 动生电动势为 εi = Blv = Bv2(tanθ)t．
（2）导体杆扫过的三角形的面积为
S = xl/2 = x2tanθ/2 = v2t2tanθ/2，
通过该面的磁通量为
感生电动势大小为
ε = |dΦ/dt| = 2(3t + 1)/103．
t = 2s时的感生电动势为1.4×10-2(V)．
（2）由于原磁场在增加，根据楞次定律，感应电流所产生的磁场的方向与原磁场的方向相反，所以在线圈中感生电流的方向是逆时针的，从电阻的左边流向右边．
17．8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈，小线圈在大线圈上面．两线圈的距离为x，设x远大于圆半径R．大线圈中通有电流I时，若半径为r的小线圈中的磁场可看作是均匀的，且以速率v = dx/dt运动．求x = NR时，小线圈中的感应电动势为多少？感应电流的方向如何？
[解答]环电流在轴线上产生的磁感应强度为
o R 图17.8
kx3tan???BS?cos?t2kv3tan?3?tcos?t
2感应电动势为
B??0IR22(x2?R2)3/2，
?i??3d? dt当x>>R时，磁感应强度为 B??0IR22x3??， 即
kvtan?2(3tcos?t??t3sin?t)2：
．
小线圈的面积为S = πr2，通过的磁通量为
??BS?a??0IR2r22x3，
kv3t?2?i?t(?t2?t??t． 当小线圈运动时，感应电动势为 sni
17．7 如图所示的回路，磁感应强度B垂直于回路平面向里，磁通量按下述规律变化Φ = 3t2 + 2t + 1，式中Φ的单位为毫
B 韦伯，t的单位为秒．求：
（1）在t = 2s时回路中的感生电
R 动势为多少？
图17.7 （2）电阻上的
电流方向如何？
[解答]（1）将磁通量的单位化为韦伯得
Φ = (3t2 + 2t + 1)/103，
35
d?3??0IR2r2v， ????4dt2x当x = NR时，感应电动势为
3??0Ir2v． ??2N4R2 感应电流的磁场与原磁场的方向相同，感应电流的方向与原电流的环绕方向相同．
17．9 如图所示，匀强磁场B与矩形导线回路的法线n成θ = 60°角，B = kt（k为大于零的常数）．长
n B A 为L的导体杆AB
θ L v D 图17.9
B 以匀速v向右平动，求回路中t时刻的感应电动势的大小和方向（设t = 0时，x = 0）．
[解答]经过时间t，导体杆运动的距离为
x = vt，
扫过的面积为 S = Lx = Lvt， 通过此面积的磁通量为 Φ = B·S = BScosθ = Lvkt2/2． 感应电动势的大小为
ε = dΦ/dt = Lvkt．
由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加，其磁场与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的．
17．10 长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按I = I0cosωt规律随时间变化，如图所示．求回路中的电动势ε．
[解答]电流A B I在r处产生的磁B dr感应强度为 rv b?0I， B?2?rx 穿过面积元dS = D a C bdr的磁通量为
?Ib图17.10
．
显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势． *
17．11 如图，一个矩形的金属线框，边长分别为a和b（b足够长）．金属线框的质量为m，y B0 自感系数
bv0 为L，忽略
a电阻．线框的长边与x轴平o x 行，它以
图17.11
速度v0沿
x轴的方向从磁场外进入磁感应强度为B0的均匀磁场中，B0的方向垂直矩形线框平面．求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式v = v(t)和沿x轴方向移动的距离与时间的关系式x = x(t)．
[解答]由于b边很长，所以线框只有右边在做切割磁力线的运动．当线框速度为v时，产生的动生电动势为 ε = B0av．
当线框中的电流为i时，产生的自感电动势的大小为
?L?Ldi． dtd??BdS?02?rdr根据欧姆定律得 ε + εL = iR， 由于不计电阻，所以有
，
穿过矩形线圈ABCD的磁通量为
B0av?Ldi?0． ① dt?0Ibx?a1?0Ibx?a??dr?ln()，
2??r2?xx回路中的电动势为
右边所受的力为 F = iaB0，
根据牛顿第二定律得
iaB0?mdv， dt???d? dtdid2v微分得 aB0?m2， ②
dtdt联立①和②式得微分方程
?bx?adI11dx??0[ln()?I(?)]
2?xdtx?axdtd2v(aB0)2?v?0， dt2mL这是简谐振动的微分方程，其通解为
?Ibx?aavcos?t?00[?ln()sin?t?]2?xx(x?a)
36
v?AcosaB0aB0t?Bsint． mLmL当t = 0时，v = v0，所以A = v0．
加速度
at = dv/dt
?aB0aB0aB0(?Asint?Bcost)， mLmLmL由于磁场增加，其变化率的方向与磁场方
向相同，而感应电流的磁场与磁场增加的方向的方向相反，即垂直纸面向里，根据右手螺旋法则，涡旋电场的方向与环路方向相同，所以左边等于
当t = 0时，at = 0，所以B = 0．
速度方程为
蜒?E?dl??LkLEkdl?Ek ?dl?Ek2?rL．
而磁感应强度的方向与面积的法向方向相反，所以右边等于
aB0v?v0cost．
mL由于v = dx/dt，所以 x?vdt?v0cos??aB0 ttdmL?BdBdB?dS??dS??r2． S?tdtSdtrdB． 2dt??因此涡旋电场为 Ek??v0aB0mLsint?C． aB0mL当t = 0时，x = 0，所以C = 0，所以位移方
程为
x?v0aB0mLsint． aB0mL对于a点，由于r = 0.1m，所以
Ek = 0.1×0.01/2 = 5×10-4(V·m-1)． 对于b点，由于r = 0，所以Ek = 0． （2）当点在磁场之外时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环路．根据安培环路定理
17．12 如图所示的圆面积内，匀强磁场B的方向垂直于圆面积向里，圆半a B 径R = 12cm，dB/dt
r R -2-1
b = 10T·s．求图中a、b、c三点的涡
旋电场为多少（br c 为圆心）？设ab =
图7.12 10cm，bc = 15cm．
[解答]（1）当点在磁场之中时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环中，其周长为
C = 2πr，
面积为 S = πr2． 取环路的逆时针方向为正，根据右手螺旋法则，面积的法向方向垂直纸面向外。
根据安培环路定理
??Ek?dl???L?B?dS， S?t左边的积分仍然为Ek2πr．由于半径R之外的磁感应强度及其变化率为零，所以右边的大小为πR2dB/dt，因此涡旋电场为
R2dB． Ek?2rdt对于c点，由于r = 0.15m，R = 0.12m，所以 Ek = (0.12)2×0.01/2×0.15 = 4.8×10-4(V·m-1）．
17．13 两个共轴的导
r2 体圆筒称为电缆，其内、o r1 外半径分别为r1和r2，设电流由内筒流入，外筒流l I I 出，求长为l的一段电缆的自感系数（提示：按定义L = NΦ/I，本题中NΦ是图中
图17.13 阴影部分面积的磁通量）．
[解答]在内外半径之间，磁感应强度的大小为 B = μ0I/2πr，
37
??Ek?dl???L?B?dS， S?t
其中r是场点到轴线之间的距离，B的方向是以轴线为中心的同心圆．
在r处取一长为l的面积元dS = ldr， 通过面积元的磁通量为 dΦ = BdS， 总磁通量为
感系数约为
M???0N1N2r22R．
???r1r2?0I?Ilrldr?0ln22?r2?r1?0lr2．
ln2?r1，
电缆的自感系数为
L??I?[讨论]电缆单位长度的自感系数为
L0?L?0r2?ln． l2?r1 17．14 两个共轴圆线B 圈，半径分别为R和r，r 匝数分别为N1和N2，两者
L 相距L．设小线圈的半径
I1 很小，小线圈处的磁场近
o R 似地可视为均匀，求两线圈的互感系数． 图17.14
[解答]设大线圈中通以电流I1，N1匝线圈形成的环电流在轴线上产生的磁感应强度为
B??0N1I1R22(L?R)223/2，
小线圈的面积为 S = πr2，
大线圈通过一匝小线圈的磁通量为
??BS???0N1I1R2r22(L?R)223/2，
在小线圈中产生的全磁通为
?21?N2????0N1N2I1R2r22(L2?R2)3/2，
互感系数为
M??21I1???0N1N2R2r2．
2(L2?R2)3/2[讨论]当两线圈相距很远时，L>>R，互
38
17．15 两个共轴的长直螺线管长为L，半径分别为R1和R2，设R2 > R1；匝数分别为N1和N2．求两螺线管的互感系数．
[解答]设大螺线管中通以电流I2，在轴线上产生的磁感应强度为
B = μ0n2I2 = μ0N2I2/L．
小螺线管的面积为 S = πR12，
大螺线圈通过一匝小螺线管的磁通量为
Φ = BS = πμ0N2I2R12/L，
在小线圈中产生的全磁通为
Φ12 = N1Φ = πμ0N1N2I2R12/L，
互感系数为
M = Φ12/I2 = πμ0N1N2R12/L．
17．16 一圆形线圈C1由50匝表面绝缘的细导线密绕而成，圆面积S = 2cm2，将C1放在一个半径R = 20cm的大圆线圈C2的中心，两线圈共轴，C2线圈为100匝．求：
（1）两线圈的互感M； （2）C2线圈中的电
I2 C2 流以50A·s-1的速率减少
时，C1中的感应电动势为C1 多少？
[解答](1)设大线圈中
图17.16
通以电流I2，N2匝线圈形
成的环电流在圆心产生的磁感应强度为
B = μ0N2I2/2R，
小线圈中的全磁通为
Φ12 = N1BS =μ0N1N2I2S/2R， 互感系数为
M = Φ12/I2 = μ0N1N2S/2R = 4π×10-7×50×100×2×10-4/2×0.2=10-6π(H)． (2) C1中的感应电动势的大小为 ε = MdI2/dt = 10-6π×50 = 5×10-5π(V)．
17．17 长直导线与矩
a 形单匝线圈共面放置，导线
与线圈的长边平行，矩形线
I b 圈的边长分别为a、b，它到
c 图17.17
直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流I = I0sinωt时，求直导线中的感应电动势．
[解答]如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为
B = μ0I/2πr．
在矩形线圈中取一面积元dS = bdr，通过线圈的磁通量为
自感系数为
L?2Wm?4L1=0.04(H)． 2I???BdS?Sa?c?c?0Ibdr?0Iba?c?ln2?r2?c，
互感系数为 M??I??0ba?c． ln2?c当线圈中通以交变电流I = I0sinωt时，
直导线中的感应电动势大小为
??MdI?0ba?c?(ln)I?cos?t． dt2?c0
17．19 两个线圈的自感分别为L1和L2，，它们之间的互感为M．将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感；（2）将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感．
[解答]两个线圈串联时，通以
2 3 4 电流I之后，1 a 总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和1 3 4 2 b B = B1 + B2，磁场的
能量为
图17.19
17．18 在长圆柱形的纸筒上绕有两个线圈1和2，每个线圈的自感都是0.01H，如图所示．求：
（1）线圈1的a端和线圈2的a`端相接时，b和b`之间的自感L为多少？
（2）线
a a圈1的b端和线圈2的a`端相接时，a和b`之间的
b b` 自感L为多图17.18 少？
[解答]（1）当线圈1的a端和线圈2的a`端相接时，在b和b`之间通以电流I，两个线圈产生的磁场方向相反，由于两个线圈是相同的，总磁场B = 0，所以磁场能量为零，自感L也为零．
（2）当线圈1的b端和线圈2的a`端相接时，在a和b`之间通以电流I，两个线圈产生的磁场方向相同，由于两个线圈是相同的，总磁场为B = B1 + B2 = 2B1，磁场的能量为
B2Wm??dV
V2?2B12B2B?B??dV??dV??12dV
?V2?V2?VBBcos?11?L1I2?L2I2??12dV． 22?V（1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同，θ = 0，所以
11Wm?L1I2?L2I2?MI2，
22自感系数为
L?2Wm?L1?L2?2M． 2I（2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反，θ = π，所以
11Wm?L1I2?L2I2?MI2，
22自感系数为
L?
39
B12B21Wm??dV?4?dV?4L1I2．
2V2?V2?
2Wm?L1?L2?2M． 2I