磁场．
将δ和b代入公式得磁感应强度大小为
Fbc?IRB?sin?d??IRB(?cos?)0?/2?/20
B??0I2?(R?a)，
= IRB = 0.32(N) = Fda．
15．20 载有电流I1的无限长直导线旁有一正三角形线圈，边长为a，载有电流I2，一边与直导线平等且与直导线相距为b，直导线与线圈共面，如图所示，求I1作用在这三角形线圈上的力．
[解答]电流I1y A I1 在右边产生磁场方
向垂直纸面向里，I2 C 在AB边处产生的磁ox α b 感应强度大小为 a B B = μ0I1/2πb，
图15.20 作用力大小为
FAB = I2aB = μ0I1I2a/2πb， 方向向左．
三角形的三个内角 α = 60°， 在AC边上的电流元I2dl所受磁场力为
dF = I2dlB，
两个分量分别为 dFx = dFcosα 和 dFy = dFsinα，
与BC边相比，两个x分量大小相等，方向相同；两个y分量大小相等，方向相反．
由于 dl = dr/sinα， 所以 dFx = I2drBcotα， 积分得
可以证明磁场的方向向上．
（2）[解答]长螺线管内部的场为
B =μ0nI，
与上式联立得
a?12?n?R，
这就是a所满足的条件．
[注意]此题中的长孔中的磁场与习题13．10．中空腔中的电场情况非常类似．
15．19 在XOY平面内有一载流线圈
o半径R = abcda，通有电流I = 20A，bc20cm，电流方向如图所示．线圈处于磁感
应强度B = 8.0×10-2T的均强磁场中，B沿着X轴正方向．求：直Y b B 线段ab和cd以及圆
I R o和dao在外a α θ 弧段bcc oX 磁场中所受安培力
d 的大小和方向．
图15.19 [解答]根据右手
o弧和cd边受力方向垂直纸面螺旋法则，bco弧和ab边受力方向垂直纸面向向外，da里．由于对称的关系，ab边和cd边所受安
?0I1I2cot?b?asin?1
Fx?dr?2?rb?o弧和dao弧所受培力的大小是相同的，bc安培力的大小也是相同的．
ab边与磁场方向的夹角是α = 45°，长度为l = R/sinα，所受安培力为
Fab = |Il×B| = IlBsinα
= IRB = 0.32(N) = Fcd．
在圆弧上取一电流元Idl，其矢径R与X轴方向的夹角为θ，所受力的大小为
dFbc = |Idl×B| = IdlBsinθ，
由于线元为 dl = Rdθ， 所以 dFbc = IRBsinθdθ， 因此安培力为
?0I1I2cot?b?asin? ln2?b??0I1I23b?a3/2．
ln6?b作用在三角形线圈上的力的大小为 F = FAB – 2Fx
??0I1I2a23b?a3/2(?ln)， 2?b3bI1 I2 r R θo 方向向左．
15．21 载有
25
图15.21
电流I1的无限长直导线，在它上面放置一个半径为R电流为I2的圆形电流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示．求I2在电流I1的磁场中所受到的力．
[解答]电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，右上1/4弧受力向右上方，右下1/4弧受力向右下方；电流I1在左边产生磁场方向垂直纸面向外，左上1/4弧受力向右下方，左下1/4弧受力向右上方．因此，合力方向向右，大小是右上1/4弧所受的向右的力的四倍．
电流元所受的力的大小为dF = I2dlB， 其中 dl = Rdθ，B = μ0I1/2πr， 而 r = Rcosθ， 所以向右的分别为
dFx = dFcosθ = μ0I1I2dθ/2π， 积分得
?0I1I2?/2?IIFx?d?d??012，
2?40电流I2所受的合力大小为 F = 4Fx = μ0I1I2，
方向向右．
B 15．22 如图所θ 示，斜面上放有一木制圆柱，质量m =
o 0.5kg，半径为R，长为 l = 0.10m，圆柱上
θ 绕有10匝导线，圆柱
G 体的轴线位导线回路
图15.22 平面内．斜面倾角为
θ，处于均匀磁场B =
0.5T中，B的方向竖直向上．如果线圈平面与斜面平行，求通过回路的电流I至少要多大时，圆柱才不致沿斜面向下滚动？
[解答]线圈面积为 S = 2Rl， 磁矩大小为 pm = NIS， 方向与B成θ角，所以磁力矩大小为
Mm = |pm×B| = pmBsinθ = NI2RlBsinθ， 方向垂直纸面向外．
重力大小为 G = mg， 力臂为 L = Rsinθ，
重力矩为 Mg = GL = mgRsinθ，
26
方向垂直纸面向里．
圆柱不滚动时，两力矩平衡，即
NI2RlBsinθ = mgRsinθ，
解得电流强度为
I = mg/2NlB = 5(A)．
15．23 均匀带电细直线AB，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动，设直线长
ω 为b，其A端距转轴O
B 距离为a，求：
b （1）O点的磁感应强度B；
a A （2）磁矩pm； o （3）若a>>b，求
图15.23
B0与pm．
[解答]（1）直线转动的周期为T = 2π/ω，
在直线上距O为r处取一径向线元dr，所带的电量为 dq = λdr，
形成的圆电流元为 dI = dq/T = ωλdr/2π，
在圆心O点产生的磁感应强度为
dB = μ0dI/2r = μ0ωλdr/4πr，
整个直线在O点产生磁感应强度为
?0??a?b1?0??a?b， B?dr?ln?4?ar4?a如果λ > 0，B的方向垂直纸面向外．
（2）圆电流元包含的面积为S = πr2， 形成的磁矩为 dpm = SdI = ωλr2dr/2， 积分得
pm???a?b2?ar2dr???6[(a?b)3?a3]．
如果λ > 0，pm的方向垂直纸面向外．
（3）当a>>b时，因为
?0??b???bln(1?)?0(?...)， 4?a4?a???b所以 B?0．
4?a??a3b3B?pm?[(1?)?1] 6a?．
??a3bb2b3??a2b[3?3()?()]?6aaa2 dF??0I1I2?tan?d， 4?2
15．24 一圆线圈直径为8cm，共12匝，通有电流5A，将此线圈置于磁感应强度为0.6T的均强磁场中，求：
（1）作用在线圈上的电大磁力矩为多少？
（2）线圈平面在什么位置时磁力矩为最大磁力矩的一半．
[解答]（1）线圈半径为R = 0.04m， 面积为 S = πR2， 磁矩为 pm = NIS = πR2NI， 磁力矩为 M = pmBsinθ． 当θ = π/2时，磁力矩最大
Mm = pmB = πR2NIB = 0.18(N·m)． （2）由于M = Mmsinθ，当M = Mm/2时，可得
sinθ = 0.5，θ = 30°或150°． *
15．25 在半径为R，通以电流I2的圆电流的圆周上，有一无限长通以电流I1的直导线（I1，I2相互绝缘，且I1与圆电流I2所在平R 面垂直），如图所示，求
O I2所受的力矩．若I1置
I1 I2 于圆电流圆心处（仍垂直），I2所受力矩又如图15.25 何？
[解答]在x轴
φ B 上方的圆周上取
I2dl 一电流元I2dl，其r φ I1 x 大小为 θ R O I2dl =
I2Rdθ， I2 所受的安培力为 dF = I2dl×B，
其大小为 dF = |I2dl×B| = I2RdθBsinφ， 其中φ = θ/2，B是电流I1在电流元I2dl处产生的磁感应强度
力的方向垂直纸面向里．
如果在x轴下方取一电流元，其受力方向垂直纸面向外，因此，圆周所受的安培力使其绕x轴旋转．
电流元所受的力矩为
dM?dF(Rsin?)?电流所受的力矩为
?0I1I2R2?sind? 2?2?0I1I2R2?1M?(1?cos?)d? ?2?02??0I1I2R2．
B 如果电流I1置于圆R 电流圆心处，那么I2就
IO 1 与I1产生的磁力线重
I2 合，所受的力为零，力矩也为零．
15．26 一个电子在B = 20×10-4T的磁场中，沿半径R = 2cm的螺旋线运动，螺距h = 5cm，如图所示，求： R （1）电子的速度为多少？ （2）B的方向如何？ h [解答]电子带负电，设速度v的方向与磁力线的负方向成θ角，则沿着磁力线方向的
图15.26 速度为 v1 = vcosθ， 垂直速度为 v2 = vsinθ．
由 R = mv2/eB， 得 v2 = eBR/m．
由 h = v1T，
得 v1 = h/T = heB/2πm， 因此速度为
2v?v12?v2?eBhR2?()2 m2?= 7.75×106(m·s-1)； 由 tan???I?0I1， B?01?2?r4?Rcos?因此安培力的大小可化为
v22?R= 2.51， ?v1h得 θ = 68.3° = 68°18′．
27
15．27 一银质Y B 条带，z1 = 2cm，y1 = 1mm．银条置于YX o 方向的均匀磁场中
z1 I B = 1.5T，如图所y1 Z 示．设电流强度I =
图15.27 200A，自由电子数n = 7.4×1028个·m-3，试求：
（1）电子的漂移速度； （2）霍尔电压为多少？
[解答]（1）电流密度为 δ = ρv， 其中电荷的体密度为 ρ = ne.
电流通过的横截面为 S = y1z1， 电流强度为 I =δS = neSv， 得电子的漂移速度为
16．2 一铁环中心线的周长为30cm，横截面积为1.0cm2，在环上密绕线圈共300匝，当通有电流32mA时，通过环的磁通量为2.0×10-6Wb，求：
（1）环内磁感应强度B的值和磁场强度H的值；
（2）铁的磁导率μ、磁化率χm和磁化强度M．
[解答]（1）根据公式B = Φ/S得磁感应强度为
2.0?10?6= 0.02(T)． B??41.0?10根据磁场的安培环路定理
??H?dl??I，
Lv?I1 ?neS7.4?1028?1.6?10?19?0.001?0.02=8.45×10-4(m·s-1)． （2）霍尔系数为
由于B与dl的方向相同，得磁场强度为
NI300?32?10?3-1
= 32(A·m)． H???2l30?10（2）根据公式B = μH，得铁的磁导率为
RH?11 ?28?19ne7.4?10?1.6?10= 8.44×10-11(m3·C-1)， 霍尔电压为
??B0.02= 6.25×10-4(Wb·A-1·m-1)． ?H32UH?RHIB200?1.5 ?8.44?10?11y10.001-5
由于μ = μrμ0，其中μ0 = 4π×10-7为真空磁导
率，而相对磁导率为μr = 1 + χm，所以磁化率为
= 2.53×10(V)．
?6.25?10?4?m??1??1?496.4． ?7?04??10磁化强度为
M = χmH = 496.4×32 = 1.59×104(A·m-1)．
16．3 一螺绕环中心周长l = 10cm，线圈匝数N = 200匝，线圈中通有电流I = 100mA．求：
（1）管内磁感应强度B0和磁场强度H0为多少？
（2）设管内充满相对磁导率μr = 4200的铁磁质，管内的B和H是多少？
（3）磁介质内部由传导电流产生的B0
和由磁化电流产生的B`各是多少？
[解答]（1）管内的磁场强度为
第十六章 磁介质的磁化
P159．
16．1 一均匀磁化的磁介质棒，直径为25mm，长为75mm，其总磁矩为12000A·m2．求棒的磁化强度M为多少？
[解答]介质棒的面积为S = πr2， 体积为 V = Sl = πr2l， 磁矩为pm = 12000A·m2，磁化强度为
M??pmpm ??VV12000 ??(25?10?3/2)2?75?10?3=3.26×108(A·m-1)．
28
NI200?100?10?3 H0??l10?10?2= 200(A·m-1)．
磁感应强度为
B = μ0H0 = 4π×10-7×200 = 2.5×10-4(T)． （2）当管内充满铁磁质之后，磁场强度不变H = H0 =200(A·m-1)．
磁感应强度为
B = μH = μrμ0H = 4200×4π×10-7×200 = 1.056(T)． （3）由传导电流产生的B0为2.5×10-4T．由于B = B0 + B`，所以磁化电流产生的磁感应强度为
B` = B - B0 ≈1.056(T)．
16．4 一根无限长的直圆柱形铜导线，外包一层相对磁导率为μr的圆筒形磁介质，导线半径为R1，磁介质外半径为R2，导线内有电流I通过（I均匀分布），求：
（1）磁介质内、外的磁场强度H和磁感应强度B的分布，画H-r，B-r曲线说明之（r是磁场中某点到圆柱轴线的距离）；
（2）磁能密度分布． [解答（]1）导线的横截面积为S0 = πR12， 导线内的电流密度为 δ = I/S0 = I/πR12．
在导线内以轴线的点为圆心作一半径为r的圆，其面积为 S =πr2，
通过的电流为 ΣI = δS = Ir2/R12．
根据磁场中的安培环路定理
介质之内的磁感应强度为
B??H??r?0H??r?0I,(R1?r?R2)2?r；
介质之外的磁感应强度为
B??0H?H ?0I,(r?R2)． 2?rB o o R1 R2 r R1 （2）导线之内的磁能密度为
r 112 wm?B0?H0??0H022?0I2r2?24,(0?r?R1)； 8?R1介质之中的磁能密度为
111wm?B?H??H2??r?0H2
222?r?0I2?,(R1?r?R2)； 228?r介质之外的磁感应强度为
?0I2112wm?B?H??0H?22,(r?R2)228?r．
16．5 一根磁棒的矫顽力为Hc = 4.0×103A·m-1，把它放在每厘米上绕5匝的线圈的长螺线管中退磁，求导线中至少需通入多大的电流？
[解答]螺线管能过电流I时，产生的磁感应强度为 B = μ0nI．
根据题意，螺线管产生的磁场强度至少要与磁棒的矫顽力大小相等，但方向相反，因此 B = μ0Hc， 所以电流强度为
I = Hc/n = 4.0×103/500 = 8(A)．
16．6 同轴电缆由两个同轴导体组成．内层是半径为R1的圆柱，外层是半径分别为R2和R3的圆筒，如图所示．两导体
29
??H?dl??I，
L环路的周长为l = 2πr，由于B与dl的方向
相同，得磁场强度为
H??IIr，（0≦r≦R1）． ?l2?R12在介质之中和介质之外同样作一半径为r的环路，其周长为l = 2πr，包围的电流为I，可得磁场强度为
H??II，（r≧R1）． ?l2?r导线之内的磁感应强度为
B??0H??0Ir,(0?r?R1)； 22?R1