????????????????（htktlt）=?204?代入上式求逆阵得（hmkmlm）=?240?，?204?与?240?相重。
??????t??m(b)求FCC基体[001]晶带在以（111）孪晶面时对应的孪晶的晶带轴方向（以基体坐标标定）。
?ht??hm????? kt?T111km ???????lt???lm??∵立方晶系的晶面指数与晶向指数同名
?ut??um???122??0??2?????1?2?12??0??1?2? ∴vt?T111vm?????3????3???????wt???wm???22?1????1????1?????∴以基体坐标标定的孪晶轴方向为?221?与[001]相对应。由晶带定理g.r?0 htut+ktvt+ltwt=0
??T????utvtwt???221?,2ht+2kt-lt=0， ∴lt=2(ht+kt)，即lt为包括零的偶数，并且ht，kt不能为奇数，只能
??为偶数.
∵FCC必须hkl为全偶或全奇，lt为偶，故孪晶[221]晶带中衍射晶面的类型为{ht, kt,2(ht+kt)}。ht，kt为偶数。
由： htH+ktK+ltL=ht+kt+lt=ht+kt+2(ht+kt)=3(ht+kt)=3n，其中HKL=[111]为孪晶面法向，根据书中判据证明了FCC[001]晶带中该孪晶斑点和基体完全相重，不出现由孪晶引起的额外斑点。
8. 画出密排六方?1120?、1100方向和体心立方?111?、?113?方向，并说明它们是直线型
????原子排列还是之字型原子排列方式。
解：对HCP结构来说， ?1120?H是直线型原子排列，?1100?H是之字型原子排列，如
图所示 。如果用fH 来表示表示HCP结构中直线排列原子的间距，用f ′H来表示之字型原子排列的
有效原子间距，那么
对?1120?H 晶向， f H = aH 对?1100?H晶向， f ′H =
3aH； 2 16
HCP[0001]面原子排列示意图
对BCC结构而言， <1 1 1>B 是直线型原子排列 ， <1 1 3>B是之字型原子排列。下图反映了
(110)B晶面上的这两个晶向。
它们的原子间距分别是
fB = f ′B = 3a <1 1 1> BB211aB <1 1 3>B 4
(110)B晶面上<1 1 1>B和<1 1 3>B原子排列示意图
9．若以晶体点阵中的b轴为x轴，求当b轴分别为2、4、3、6次旋转轴时的转换矩阵。如果是c轴为x轴，写出相应的转换矩阵。
解：以晶体点阵中的b轴为x轴时，当坐标系绕x轴逆时针旋转θ角时，则变换矩阵为
?cos??(aij)??0?sin??0?sin???10? 0cos???当b轴分别为2、4、3、6次轴时，它们的旋转θ角分别为则相应的对称变换矩阵分别为180°，90°，120°和60°，则对的矩阵依次为
17
?13??1???0???100??00?1??2??2?????20?;?0?010?;?010?;?01?00?1??100??31??30????????2??2?2?cos??(aij)???sin??0?sin?cos?00??0? 1??3??0?2?10?
1?0?2?以晶体点阵中的c轴为x轴时，当坐标系绕x轴逆时针旋转θ角时，则变换矩阵为
当c轴分别为2、4、3、6次轴时，它们的旋转θ角分别为则相应的对称变换矩阵分别为180°，90°，120°和60°，则对的矩阵依次为
?1????100??010??2?????30?10;?100????;???001??001??2?????0??
??130??2??2??13?0?;??22??01??0????32120?0???0? 1????10．用极射赤面投射的方法画出2次反演轴分别为x、y、z方向的对称图以及与之等价的镜面。
解：
2次反演轴平行于x方向 2次反演轴平行于y方向 2次反演轴平行于z方向 由上述作图可知，2次反演轴（i）等价于垂直它的镜面（m）。
11．说明点群422中独立对称元素，并求出它的转换矩阵。
解：四方晶系中的422点群，c轴方向的4次旋转轴和a方向的2次旋转轴是独立对称元素，而422中最后一位的2次旋转轴（a+b方向）可由组合定理推演出来，故不是独立对称元素。故点群422的转换矩阵就是以c轴为4次旋转轴对应转换矩阵与以a轴为2次旋转轴对应矩阵相乘，即
?010??10???100????01?001?????00
12．求出3、6的转换矩阵。
0??010??100? 0?????1????001??解：(a) 因为3?3?i，取a轴为3次旋转轴方向，则
18
??10?1?0?2??30?2?(b) 因为6???0???100???10??3?1??0?10???0??2??2??00?1??1??3??0??2?2??0?3?? ?2?1??2?6,取a轴为6次旋转轴，镜面垂直于a轴，则得 m??10?1?02??30??2?
??0???100???10??3?1??010???0??2??2?001???1??30???2?2??0?3?? 2?1??2?13．图10给出空间群Cmm2的等效点分布图， (a) 画出对应的对称元素分布图；
(b)写出一般等效点系和特殊等效点系的等效点坐标。
图10
解：(a) 从等效点分布的特征，可知存在2次旋转轴、镜面和滑移面，如图所示。
(b) Cmm2空间群
等效点数目 Wyckoff符号 点对称性 坐标 19
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; 8 f 1 4 4 4 2 2 e d c b a m m 2 mm mm 11111111x?,y?,z; x?,y?,z; x?,y?,z; x?,y?,z 222222221110,y,z; 0,y,z; ,y?,z; 0,y?,z 2221111x,0,z; x,0,z; x?,,z; x?,,z 222211; 13; 31; 33 ,,z,,z,,z,,z44444444110,,z; ,0,z 22110,0,z; ,,z 22 14．若金刚石结构中的某d滑移为
bc?，计算（0kl）指数的衍射条件。 44解：d滑移是以（100）为滑移反映平面，则两个等效点的坐标分别是 x，y，z；-x，y＋
11，z＋， 44??1??1????F?hkl??fexp??2πi?hx?ky?lz????fexp?2πi??hx?k?y?4??l?z?4???
????????当h＝0时
??11??F?0kl??fexp?2πiky?lz?fexp2πiky?lzexpπik?l?? ?????????2????2???????11????f?1?exp?πi?k?l???exp??2πi?ky?lz???
22??????当
11??11??k?l?2n，即k?l?4n，exp?πi?k?l????1，则F?0kl??0； 222????2当
??11??11k?l?2n，即k?l?4n，exp?πi?k?l???1，则F?0kl??0； 222????2所以，当k?l?4n是?0kl?晶面产生衍射的条件。
第五章
2．样品中有两个倾斜层错，如图11所示，B-B层错为内禀层错（???错（???2π），W-W为外禀层32π），试说明重叠层错可能的衬度。 3 20