广东省东莞市2015届高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是（） A． 2﹣i B． 2+i C． 1+2i D．CDFN
2．（5分）设集合M={x|y=3x，x∈R}，N={y|x+y=4，x∈R，y∈R}，则M∩N等于（） A． B． [﹣2，2] C． 3．（5分）已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=（） A． ﹣8
x
2
2
2
D． [0，2]
B． ±8 C． D．
4．（5分）若a=2，b=log A． 充分不必要条件
C． 充要条件
5．（5分）已知 A．
x，则“a＞b”是“x＞1”的（）
B． 必要不充分条件
D． 既不充分又不必要条件
，则sin2α等于（）
B． C． D．
6．（5分）设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（）
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α； ②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；
④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m． A． 1 B． 2 C． 3 D．4 7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）
A． 3
B． 4
2
2
C． 5 D．6
8．（5分）已知直线x+y=a与圆x+y=4交于A、B两点，且|原点，则实数a的值为（）
A． 2 B． ﹣2
|=||，其中O为
C． 2或﹣2
x
D．或﹣
9．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x
﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（） A． f（1）＜f（a）＜f（b） B． f（a）＜f（b）＜f（1） C． f（a）＜f（1）＜f（b） D． f（b）＜f（1）＜f（a）
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p=（） A． 2 B． 4 C． 6 D．8 二、填空题（本大题共3小题，满分15分.分必做题和选做题.把答案填在题中的横线上）（一）、必做题：三个小题，每小题5分，共15分．
11．（5分）设向量=（1，2），=（2，3），若向量λ+与向量=（﹣4，﹣7）共线，则λ=． 12．（5分）如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是．
2
13．（5分）已知点P（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x+y=14相交于A、B
22
两点，则AB的最小值为． 三、（坐标系与参数方程选做题） 14．（5分）在直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知两点的极坐标为
、
，则直线AB的直角坐标方程为．
四、（几何证明选讲选做题）
15．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）在△ABC中，已知A=45°，cosB=．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求AB，CD的长． 17．（12分）家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中A类服务员12名，B类服务员x名
（Ⅰ）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训，抽取到B类服务员的人数是16，求x的值；
（Ⅱ）某客户来公司聘请2名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和，只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择 ①请列出该客户的所有可能选择的情况；
②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率． 18．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．
（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD； （Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC； （Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．
19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=0，a1+a2+a3+…+an+n=an+1，n∈N． （Ⅰ）求证：数列{an+1}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，b1=1，点（Tn+1，Tn）在直线
*
*
上，若不等式
对于n∈N恒成立，求实数m的最大值．
20．（14分）已知函数f（x）=﹣2．
（1）求实数a，b的值； （2）设g（x）=f（x）+
是[2，+∞）上的增函数．
+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x
①求实数m的最大值；
②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
21．（14分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭
圆C上，O为坐标原点． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围； （3）过椭圆C1：
+
=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x+y=的两条切线，切
2
2
点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：
+为定值．
广东省东莞市2015届高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是（） A． 2﹣i B． 2+i C． 1+2i D．CDFN
考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．
分析： 直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求． 解答： 解：∵（1+2i）z=4+3i，
∴，
则z的共轭复数是2+i． 故选：B．
点评： 本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．
2．（5分）设集合M={x|y=3x，x∈R}，N={y|x+y=4，x∈R，y∈R}，则M∩N等于（） A． B． [﹣2，2] C． D． [0，2]
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．
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解答： 解：由M中y=3x≥0，得到x≥0，即M=[0，+∞），
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由N中x+y=4，得到﹣2≤y≤2，即N=[﹣2，2]， 则M∩N=[0，2]． 故选：D．
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3．（5分）已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=（）
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A． ﹣8 B． ±8
考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
C． D．
分析： 由等比数列的性质可得y=xz=（﹣1）（﹣4），解方程易得答案．
2
解答： 解：由等比数列的性质可得y=xz=（﹣1）（﹣4），
2
解得xz=4，y=﹣2，（y=2时，和x=﹣y矛盾）， ∴xyz=﹣8． 故选：A
点评： 本题考查等比数列的性质，属基础题．
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