解答： 解：点P（x，y）满足，P表示的可行域如图阴影部分：
原点到直线x+y=4的距离为OD，所以当P在可行域的Q点时，Q到圆心O的距离最大，当AB⊥OQ时，AB最小． Q的坐标由所以AB=2故答案为：4．
确定，Q（1，3），OQ=
=4．
=
，
点评： 本题考查简单的线性规划，正确画出可行域判断P的位置，是解题的关键． 三、（坐标系与参数方程选做题） 14．（5分）在直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知两点的极坐标为
、
，则直线AB的直角坐标方程为
．
考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： 利用把A，B两点的周建彪化为直角坐标，再利用点斜式即可得出．
、
．
，
解答： 解：两点的极坐标为化为直角坐标A斜率k=
=﹣
．
=﹣
，B
∴直线AB的直角坐标方程为y﹣，
化为， 故答案为：．
点评： 本题考查了把极坐标化为直角坐标、直线的点斜式，考查了计算能力，属于基础题． 四、（几何证明选讲选做题）
15．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=30°．
考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 欲求：“∠CBD”，根据圆中角的关系：∠COD=2∠CBD，只要求出∠COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题． 解答： 解：由割线定理得， PA×PB=PC×PD， ∵PA=4，PC=5，
∴4×10=5×PD，∴PD=8， ∴CD=8﹣5=3，
∴△CDO是等边三角形，
∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．
故填：30°或．
点评： 此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）在△ABC中，已知A=45°，cosB=．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求AB，CD的长．
考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题： 解三角形．
分析： （Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后根据三角形的内角和定理得到所求式子中C等于180°﹣A﹣B，而A=45°，得到C=135°﹣B，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinB和cosB的值代入即可求出值；
（II）利用三角函数的正弦定理求出边AB的长；利用三角形的余弦定理求出CD的长．
解答： 解：（Ⅰ）∵cosB=，且B∈（0°，180°）， ∴sinB=
=
sinC=sin（180°﹣A﹣B）=sin（135°﹣B）
=sin135°cosB﹣cos135°sinB=（II）由（Ⅰ）可得sinC=由正弦定理得
?﹣（﹣
）?=
，即，解得AB=14
在△BCD中，BD=7，CD=7+10﹣2×7×10×=37，
所以CD=
点评： 本题考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式、考查三角形中的正弦定理、余弦定理，是一道中档题． 17．（12分）家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中A类服务员12名，B类服务员x名
（Ⅰ）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训，抽取到B类服务员的人数是16，求x的值；
（Ⅱ）某客户来公司聘请2名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和，只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择 ①请列出该客户的所有可能选择的情况；
②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 概率与统计．
分析： （1）根据分层抽样即可求的x的值，
（2）列举出所有的可能，找到满足最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况，根据古典概率公式计算即可．
222
解答： 解：（1）20﹣16=4，由，可得x=48
（2）①设3名A类家政服务员的编号为a，b，c，2名B类家政服务员的编号为1，2， 则所有可能情况有： （a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）共10种选择．
②该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况有： （a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2）共6种选择， ∴该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率为P=
．
点评： 本题主要考查了分层抽样和古典概率的问题，关键是一一列举所有的基本事件，属于基础题． 18．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．
（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD； （Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC； （Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．
考点： 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC∥平面MFD；
（Ⅱ）连接ED，设ED∩FC=O．根据平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可证NE⊥平面ECDF，从而可得FC⊥NE，进一步可证FC⊥平面NED，利用线面垂直的判定，可得ND⊥FC； （Ⅲ）先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值．
解答： （Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形， 所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．
所以四边形MNCD是平行四边形，…（2分） 所以NC∥MD，…（3分）
因为NC?平面MFD，所以NC∥平面MFD． …（4分） （Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．
因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF， 所以NE⊥平面ECDF，…（5分） 因为FC?平面ECDF，
所以FC⊥NE． …（6分）
又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以 FC⊥ED． …（7分） 所以FC⊥平面NED，…（8分） 因为ND?平面NED，
所以ND⊥FC． …（9分） （Ⅲ）解：设NE=x，则EC=4﹣x，其中0＜x＜4．
由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为（11分） 所以
． …（13分）
． …
当且仅当x=4﹣x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大． …（14分）
点评： 本题考查线面平行，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查基本不等式的运用，掌握线面平行，线面垂直的判定方法，正确表示四面体NFEC的体积是关键．
19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=0，a1+a2+a3+…+an+n=an+1，n∈N． （Ⅰ）求证：数列{an+1}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，b1=1，点（Tn+1，Tn）在直线
*
*
上，若不等式
对于n∈N恒成立，求实数m的最大值．
考点： 数列的求和；等比关系的确定． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）利用递推式可得：an+1=2an+1，变形利用等比数列的定义即可证明； （Ⅱ）由（Ⅰ）得
，由点（Tn+1，Tn）在直线
上，可得
，
利用等差数列的通项公式可得：
，利用递推式可得bn=n．利用不等式
，可得Rn=
，利用“错位
相减法”可得：．对n分类讨论即可得出．
解答： 解：（Ⅰ）由a1+a2+a3+…+an+n=an+1， 得a1+a2+a3+…+an﹣1+n﹣1=an（n≥2）， 两式相减得an+1=2an+1， 变形为an+1+1=2（an+1）（n≥2），
∵a1=0，∴a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1）， ∴{a1+1}是以1为首项，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）得∵点（Tn+1，Tn）在直线∴故
是以
，
为首项，为公差的等差数列，
，
上，