则当n≥2时，
，∴，
，
∵b1=1满足该式，∴bn=n． ∴不等式
，
即为令两式相减得∴
．
，则
，
，
，
由恒成立，即恒成立，
又，
故当n≤3时，单调递减；当n=3时，；
当n≥4时，单调递增；当n=4时，；
则的最小值为，所以实数m的最大值是．
点评： 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、数列的单调性，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（14分）已知函数f（x）=﹣2．
（1）求实数a，b的值； （2）设g（x）=f（x）+
是[2，+∞）上的增函数．
+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x
①求实数m的最大值；
②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （1）求导函数，利用在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2，建立方程组，即可求实数a，b的值；
（2）①求导函数，利用g（x）是[2，+∞）上的增函数，可得g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，进一步利用换元法，确定函数的最值，即可求得m的最大值；
②由①得g（x）=
2
，证明图象关于点Q（1，）成中心对称即可．
解答： 解：（1）求导函数可得f′（x）=x﹣2x+a ∵函数在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2，∴
，∴
．
（2）①由=，得g′（x）
=．
∵g（x）是[2，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立， 即
在[2，+∞）上恒成立．
设（x﹣1）=t，∵x∈[2，+∞），∴t≥1，∴不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立 当m≤0时，不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立． 当m＞0时，设y=t+2﹣，t∈[1，+∞） 因为y′=1+
＞0，所以函数y=t+2﹣在[1，+∞）上单调递增，因此ymin=3﹣m．
2
∴ymin≥0，∴3﹣m≥0，即m≤3，又m＞0，故0＜m≤3．
综上，m的最大值为3． ②由①得g（x）=证明如下：∵g（x）=∴g（2﹣x）=
因此，g（x）+g（2﹣x）=．
∴函数g（x）的图象关于点Q成中心对称．
=
，其图象关于点Q（1，）成中心对称． ，
∴存在点Q（1，），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．
点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查图象的对称性，属于中档题．
21．（14分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭
圆C上，O为坐标原点． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围； （3）过椭圆C1：
+
=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x+y=的两条切线，切
2
2
点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：
+
为定值．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可；
（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立l与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x1+x2与x1x2，根据∠AOB为锐角，得到
?
＞
0，即x1x2+y1y2＞0，即可确定出k的范围；
（3）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值． 解答： 解：（1）由题意得：c=1， 22
∴a=b+1，
又因为点P（1，）在椭圆C上， ∴
+
2
=1，
2
解得：a=4，b=3， 则椭圆标准方程为
+
=1；
（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，消去y得：（4k+3）x+16kx+4=0，
22
∵△=12k﹣3＞0，∴k＞， ∴x1+x2=﹣
，x1x2=
?
，
＞0，即x1x2+y1y2＞0，
2
22
∵∠AOB为锐角，∴
∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0， 整理得：（1+k）?
2
2
2
+2k?+4＞0，即＞0，
整理得：k＜，即＜k＜， 解得：﹣
＜k＜﹣或＜k＜
；
（3）由题意：C1：
+=1，
设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3）， ∵M，N不在坐标轴上，∴kPM=﹣
=﹣
，
∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣（x﹣x2），
化简得：x2x+y2y=④，
同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=⑤，
把P点的坐标代入④、⑤得，
∴直线MN的方程为x1x+y1y=， 令y=0，得m=
，令x=0得n=
，
∴x1=，y1=
，
又点P在椭圆C1上，
∴（则
）+3（+
2
）=4，
2
=为定值．
点评： 此题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．