Lj=gj（P1，P2，…，Pn，w1，w2，…，wm） （j=1，2，…，n?m）
写成方程组的形式就是：
?L1?g1(P1,P2,?,Pn,w1,w2?,wm)?L?g(P,P,?,P,w,w,?,w)?2212n12m （9—4） ?????1,P2,?,Pn,w1,w2,?wm)?Lm?gm(P3. 一般均衡模型的结论
在模型的2n+2m个变量（P1，P2，…，Pn，Q1，Q2，…，Qn，w1，w2，…，wm，L1，L2，…，
Lm）中，商品和要素的价格都是名义价格，如果将它们都改成对某一商品（如商品1）的相对价格，则这
n+m个相对价格就是（1，
PwP2P3ww，，…，n，1，2，…，m）。将这n+m个相对价格代替式9PPPPPP111111—1至式9—4中的相应价格（P1，P2，…，Pn，w1，w2，…，wm），则此四组方程只含2n+2m－1个未知量，即（
PPwP2ww，3，…，n，Q1，Q2，…，Qn，1，2，…，m，L1，L2，…，Lm）。P1P1PPP1P111由于式9—1实际只含n－1个方程，所以一般均衡模型的四组方程（式9—1、式9—2、式9—3、式9—4）共有2n+2m－1个方程。
方程组中方程的个数与未知量的个数相等，瓦尔拉斯据此认为这四组方程构成的方程组存在唯一的解。于是他证明了经济中确实存在一个价格体系，在此体系下所有市场同时达到均衡状态，或者说他证明了一般均衡的存在。在这个证明下，由于长期中完全竞争条件所决定的产量和要素提供量都是最优的，或者说资源配置是最具效率的，所以资本主义经济制度就是最合理的经济制度。
初等数学都能告诉我们，方程个数与未知数个数相等并不能保证方程组有解，更不能保证解的唯一性，所以瓦尔拉斯的证明存在严重的缺陷。在相当长的时期内经济学家们对此缺陷视而不见大概是由于证明过程和证明结论的优美使他们不忍看到“美丽花瓶”的破碎。马克思曾指出，经济学不惜使用非常可笑的假设条件来得出有利于资本主义的结论，从而为资产阶级辩护，让他们有充分的理由继续剥削无产阶级。
20世纪初，诺贝尔经济学奖获得者肯尼斯·阿罗、杰拉德·德布鲁，著名经济学家昂内尔·麦肯齐等人附加一系列条件后证明了一般均衡的存在性②。
三、完全竞争条件下一般均衡的实现过程
即便一般均衡确实存在，有那样一组价格使经济中所有的市场同时达到均衡，经济是否就会自动调整到理论上的一般均衡状态呢？一般均衡模型中的n和m在现实经济中无疑是非常庞大的数字，不用说求出方程组的解，就是列出这样一个方程组来也是不大可能的。经济中的交易者并不知道这一组一般均衡价格，他们完全可能在“错误”的价格下完成交易。这些“错误”的交易会导致一般均衡状态的实现吗？
瓦尔拉斯试图用“试错法”来说明一般均衡的实现过程。他假设市场中存在一个自由“拍卖人”，其任务就是寻找并确定一般均衡价格。首先他随意报出一组价格，经济当事人根据该价格申报自己的供给量 ②
相应的证明涉及较高等的数学知识，超出了本书的讨论范围，故略。
和需求量。如果所有市场供求均达到一致，拍卖人则将这一组价格固定下来成为一般均衡价格。如果一些市场的供求不一致，拍卖人则调整这些市场的价格，当某个市场的需求量大于供给量时就提高价格，反之就降低价格。这样拍卖人就可以保证新报出的价格比原来的价格更加接近于一般均衡价格。如果新报出的价格仍然不能使所有市场都达到均衡，则上述过程重复，直到均衡状态为止。
拍卖人用试错法来实现瓦尔拉斯均衡的过程还有一个很重要的假设，就是在拍卖人找到一般均衡价格之前只允许交易人报出自己意愿的交易数量而不允许他们进行交易。在拍卖人报出一般均衡价格之后才开始交易，这显然是与现实相悖的。
第二节 帕累托效率
一、效率高低的判断
1. 帕累托标准
林肯废除黑奴制度的举措赢得了美国大众的欢迎，但却遭到南方奴隶主阶级的激烈抵抗。德军为攻占巴黎举行了盛大的庆祝仪式，法国民众却陷入了深重的灾难之中。对资源配置状态的任何调整都会对有关经济主体的福利带来影响，通常情况下这种调整会给一部分人带来好处而给另一部分人带来坏处。正是因为如此，社会中各经济主体对一项社会变革才会褒贬不一。如何判断两种不同的资源配置状况孰优孰劣呢？对这个规范分析的问题的争论通常是不会有结果的，除非我们认为其中一方的意见是无关紧要的。关于资源配置状况A和资源配置状况B谁更优的问题如果存在一种几乎无争议的情况，那么就有帕累托标准。帕累托标准（pareto criterion）是至少有一个人认为B优于A而无人认为B劣于A。在这种情况下，有些人认为B优于A，可能还有些人认为A与B无差异，但没有人认为B劣于A。我们很自然地判断，这个社会认为B优于A。作出这个判断的依据就是帕累托标准。
2. 帕累托改进
对资源配置进行调整会出现调整前后两种不同的资源配置状态。如果调整后的资源配置状态优于调整前的资源配置状态，我们就说这种调整是资源配置状态的一种改进。调整后的资源配置状态是否优于调整前的资源配置状态是一个规范分析的问题，一旦有不同意见就难以作出合理的评判。如果人们对这种调整的态度符合帕累托标准，那么这种调整就能取得社会各经济主体基本一致的好评，至少不会遭到激烈的反对。这就是所谓帕累托改进。如果一项资源配置的调整在使一部分经济主体的境况变得更好的同时没有使任何经济主体的境况变得更坏，这项调整就被称为帕累托改进（pareto improvement）。帕累托改进就是以帕累托标准为依据的对资源配置状态的一种优化调整。在资源配置的一般调整下获利者的“利己”是以“损人”为代价的，而帕累托改进却只有“利己”而无“损人”。因此经济学将帕累托改进视为资源配置效率的提高。
3. 帕累托最优状态
对经济进行一次帕累托改进后，按帕累托标准判断，改进后的资源配置效率提高了。如果仍然存在帕累托改进，就再实施改进使资源配置效率更高。如此继续下去，直到不再存在帕累托改进。这时，为了使某一个人获得好处而对资源配置状态作任何的调整都不可避免地伤害另一部分人。不“损人”就能“利己”的调整已不复存在。按帕累托标准，资源配置的效率已达到最高。我们将不存在帕累托改进的资源配置状态称为帕累托最优状态（pareto optimality）。或者说，帕累托最优状态是这样一种状态：任何调整都不可能在使至少一个人的境况变好时不使他人的境况变坏。这就是说，在不“损人”的限制下任何行为都不能
“利己”了，经济就达到了帕累托最优状态。在帕累托最优状态下经济运行是有效率的；反之，非帕累托最优状态的经济运行就是缺乏效率的。
4. 帕累托最优状态的局限性
在一个由两个人A和B构成的经济中，如图9—4，两个坐标轴分别表示两人的效用值。在我们考虑
ee的初始点e处，A和B的效用分别是UA和UB。若一项调整使点e移向点c或点d，我们都可以根据帕累
托标准判断出这项调整的“好”与“坏”。但是，若点e移向点a或点b，帕累托标准对判别调整的“好”与“坏”就无能为力了，因为在有一个变好的同时，另一个却变坏了。图9—4中的阴影部分（包括边界）是帕累托标准的适用范围，而其补集是帕累托标准的限制使用范围。
图9—4 帕累托标准应用范围的限制
二、交换的帕累托最优
1. 埃奇沃斯盒状图
我们首先来考虑两种既定数量X和Y的商品在两个消费者A和B之间的分配问题。我们记消费者A得到商品X的数量为XA，得到商品Y的数量为YA；消费者B得到商品X的数量为XB，得到商品Y的数量为YB。因为两种商品的数量都是既定的，所以有XA?XB?X和YA?YB?Y。
图9—5中（a）和（b）分别描绘了消费者A和消费者B的无差异曲线。将消费者B的无差异曲线连同整个坐标系逆时针方向旋转180度得到图（d）。图（c）只是图（b）在旋转过程中的某一位置。然后把旋转后的图（d）与消费者A的无差异曲线图（a）进行叠加，得到一个盒状图形——图（e），这就是所谓的埃奇沃斯盒状图（edgeworth box）。它是进行帕累托最优状态分析的重要工具。
图9—5 埃奇沃思盒状图
在图9—5中X和Y的既定数量分别为X（盒子的水平宽度）和Y（盒子的垂直高度）， OA和OB分别为消费者A和B的原点。从OA水平向右的线段长度是消费者A对X的消费量XA，垂直向上的线段长度是消费者A对Y的消费量YA。从OB水平向左的线段长度是消费者B对X的消费量XB，垂直向下的线段长度是消费者B对Y的消费量YB。在消费者A看来，点a的坐标是（XA，YA）；而在消费者B看来，点a的坐标是（XB，YB）。因为XA+XB=X，YA+YB=Y，而盒子的宽和高恰好就是X和Y，所以点a表示既定的物品组合（X，Y）在AB之间的一种分配状况。在图9—5中，点a表示A分得了较少的
X和较多的Y，而B则分得了较多的X和较少的Y。这样，埃奇沃斯盒状图中的一点确定了既定数量的两种物品在两个消费者之间的一种分配状况，盒中所有点（包括边界）反映了既定数量的两种物品在两个消费者之间的所有可能的分配情况。
将图9—5中的（e）图放大就得到图9—6，其中IA、IIA、IIIA是消费者A的三条无差异曲线，如果它们所代表的效用水平也用这三个符号表示就有IA?IIA?IIIA。IB、IIB、IIIB是消费者B的三条无差异曲线，并且有IB?IIB?IIIB。
图9—6 交换的帕累托最优
在埃奇沃斯盒状图9—6中的任意一点，根据无差异曲线的特性，只能属于下列两种情况之一： （1）刚好处于A和B的某两条无差异曲线的交点上，例如图9—6中的点a；
（2）刚好处于A和B的某两条无差异曲线的切点上，例如图9—6中的点R、S、T等。 2. 交换的帕累托改进
在第一种情况下，根据无差异曲线的密集性和有序性，A和B的无差异曲线相交于点a。假设这两条无差异曲线分别为IA和IIB（见图9—6）。现在作一个调整，让点a沿着IA移动到R点（即让A用一定量的Y从B处换取一定量的X）。因为R点仍然在消费者A的无差异曲线IA上，所以A的效用没有发生变化。另一方面，对消费者B来说，其效用已经由无差异曲线IIB移动到了IIIB，因为IIIB?IIB，所以消费者B的效用得到了提高。于是这次调整是一次帕累托改进。同样，如果我们作另一个调整，使得点a沿着IIB移动到点S，则消费者B的效用不变但消费者A的效用提高，从而这个调整也是一个帕累托改进。如果我们的调整使得点a移动到点R与点S之间，那么消费者A和消费者B的效用都得到提高，这当然也是一个帕累托改进。