由一个非帕累托最优点移向一个帕累托最优点的改进是否一定是一种帕累托改进？回答是否定的。假设点
a不是帕累托最优而点V是帕累托最优，那么从点a到点V的移动虽极大地提高了消费者B的效用，但却
同时降低了消费者A的效用。根据帕累托改进的定义，这次调整不是帕累托改进。我们可以得出如下结论：若点V落在经过点a的两条相交的无差异曲线之间（包括边界），则从点a到点V的调整就是帕累托改进。
3. 交换契约曲线
在第二种情况下，A和B的无差异曲线的交点刚好是两条无差异曲线的切点，如R、S或T。在这种情况下，不可能再有任何的改进可以使其中一方的效用提高，同时使另一方的效用不降低。此时的情况已经符合“帕累托最优状态”的定义，故R、S、T点都是“帕累托最优状态”的点。根据无差异曲线的密集性，这样的点有无数个。这些点的轨迹形成了一条曲线，我们把它称为交换契约曲线或效率曲线（图9—6中的曲线OAVRSTOB）。交换契约曲线（exchange contract curve）是埃奇沃斯盒状图中一个消费者的无差异曲线与另一个消费者的无差异曲线切点的轨迹。
交换契约曲线上的每一个点都对应消费者A和消费者B的一条无差异曲线，这两条无差异曲线相切于该点。在该切点上两条无差异曲线的切线斜率，即各自的边际替代率，必定相等：
ABMRSXY?MRSXY （9—5）
式9—5被称为交换的帕累托最优条件。其含义是：两个消费者在既定数量的两种产品之间进行分配时，使得两人的边际替代率相等的分配就是帕累托最优的，这样的分配是有效率的。
3根据定义，式9—5也是交换契约曲线的方程。假设A、B两人的效用函数分别为UA?2XY和
UB?X?6Y。A的无差异曲线方程为2XY3?c，两边对X求导得：
2Y3?6XY2?dY?0 dX于是，A的边际替代率为：
AMRSXY??dYY? dX3XdY1??。于是，B的边际替代率为： dX6同样地，根据B的无差异曲线方程X?6Y?c得
BMRSXY??dY1? dX6将所得结果代入式9—5，得交换契约曲线方程： X?2Y
三、生产的帕累托最优
生产的帕累托最优条件与交换的帕累托最优条件非常相似。我们设生产中投入的两种要素分别为L和
K，其既定的数量分别为L和K。两个厂商分别为C和D，厂商C得到要素L的数量为LC，得到要素K
的数量为KC，厂商D得到要素L的数量为LD，得到要素K的数量为KD。同样有LC?LD?L和
KC?KD?K。图9—7是相应的埃奇沃斯盒状图。
图9—7 生产的帕累托最优
与交换契约曲线类似，图9—7存在一条生产契约曲线（production contract curve）：埃奇沃斯盒状图中一个厂商的等产量线与另一个厂商的等产量线切点的轨迹。生产契约曲线上一点的两条等产量曲线的切线斜率，即边际技术替代率，必定相等：
CDMRTSLK?MRTSLK （9—6）
式9—6被称为生产的帕累托最优条件，它也是生产契约曲线的方程。它的含义是：两个厂商在数量既定的两种要素之间进行分配时，使得两个厂商的边际技术替代率相等的要素分配状态就是帕累托最优的，生产就是有效率的。
四、交换和生产的帕累托最优
当交换的帕累托最优条件9—5和生产的帕累托最优条件9—6同时满足时整个经济的生产和交换是否就达到了帕累托最优状态呢？回答是否定的。
在前面所有的假设都成立的基础上再假设生产者C生产产品X，生产者D生产产品Y。首先，我们来说明生产契约曲线上的点与第一章中提到的生产可能性边界上的点是一一对应的。
在图9—8的（a）图中，厂商C的三条等产量曲线IC、IIC和IIIC对应的产量分别为XI、XII和XIII，显然有XI?XII?XIII。设厂商D的三条等产量曲线ID、IID和IIID对应的产量分别为YI、YII和YIII，同样有YI?YII?YIII。这样一来，图9—8的（a）图中点E所代表的要素分配方案下的产量就为X?XI，
Y?YIII；点F对应的产量为X?XII，Y?YII；点G对应的产量为X?XIII，Y?YI。
在图9—8的（b）图中，我们把产品X的产量作为横轴，产品Y的产量作为纵轴，并把生产契约曲线上的所有点，例如E(XI,YIII)、F(XII,YII)以及G(XIII,YI)都画在该坐标系的相应位置上，这就得到了一条曲线。该曲线就是第一章讨论的生产可能性边界。
图9—8 从生产契约曲线到生产可能性边界
生产可能性边界上的所有产出组合都是满足条件式9—6的最优产出组合。已知生产可能性边界上点的切线斜率的绝对值就是产品X对产品Y的产品转换率（参见式1—1），所以生产可能性边界的近似含义就是：在满足生产的帕累托最优条件式9—6时，再增加（或最后增加的）1单位X产品所必须牺牲的产品Y的数量。
其次，我们解释一下这里生产可能性边界凸向上的原因。L和K可以被看成一种要素(L?K)。随着生产可能性边界上的点向右下方移动，生产契约曲线上的点也从左下方向右上方移动。根据要素的边际产量递减规律，一方面因X的产量增加，要素(L?K)生产X的边际产量dX/d(L＋K)越来越小；另一方面因Y的产量减少，要素(L?K)生产Y的边际产量dＹ/d(L＋K)却越来越大。故X对Y的边际产品转换率
dYdYd(L?K) 越来越大，即生产可能性边界的切线越来越陡峭。于是，生产可能性边界MRTXY??dXdXd(L?K)是凸向上的。
接下来，我们用生产可能性边界取代生产契约曲线，结合交换契约曲线来讨论整个经济的帕累托最优状态。
给定生产可能性边界上的任意一点，如图9—9中的点B（X，Y），表示一个满足生产的帕累托最优条件式9—6的产出组合。这个产出组合应如何在两个消费者之间进行分配才能达到帕累托最优状态呢？点B确定了一个有关交换的埃奇沃斯盒状图，即图中的矩形OXBY。其中曲线oeB是消费者A和消费者B关于产品X和产品Y的交换契约曲线。曲线上的每一点都满足交换的帕累托最优条件式9—5。于是，交换契约曲线oeB上的每一点都同时满足交换的帕累托最优条件式9—5和生产的帕累托最优条件式9—6。但是这并不能说明这些点都达到了帕累托最优状态。以点e为例，A、B两人的无差异曲线虽然在该点相
ABMRS?MRSXYXY未必会等于生产可能性曲线在点B处的切线斜率MRTXY。 切，但此切线的斜率
图9—9 生产和交换契约曲线
如果MRSXY?MRSXY 位X的产出，即令A减少1单位的X消费，将增产的MRTXY（大于MRSXY）单位Y全部给A，这一改进对B的效用无影响却增加了A的效用，从而它是一个帕累托改进。 如果MRSXY?MRSXY>MRTXY，从生产方面看，使X的产出增加1单位只须牺牲MRTXY单位的Y的产出。从消费方面看，A为再得到1单位X愿意放弃MRSXY单位Y（而不改变原效用）。于是，减少MRTXY单位Y的产出，让A减少MRTXY（小于MRSXY）单位的Y消费，将增产的1单位X全部给A，这一改进对B的效用无影响却增加了A的效用，从而它也是一个帕累托改进。 只有当MRSXY?MRSXY=MRTXY时，再进行任何改进都会至少损害A、B中的1个人，即不再存在任何帕累托改进，或者说达到了生产和交换的帕累托最优状态。于是，生产和交换的帕累托最优条件就是 AMRSXY?MRTXY （9—7） ABAAAAABAB将以上得到的式9—5、式9—6和式9—7联立起来得到： AB?MRSXY?MRSXY?CD?MRTSLK?MRTSLK （9—8） ?MRSA?MRTXYXY?式9—8就是帕累托最优状态条件。只要满足了这个条件，经济就达到了帕累托最优状态，经济运行就是有效率的。 五、完全竞争的效率 一般均衡理论指出，长期中完全竞争将导致一般均衡的实现。其实完全竞争的一般均衡状态也是一种帕累托最优状态。 前面的讨论都是在消费者人数、厂商数目、产品种类数和要素种类数均为2的假定下进行的，但其结论都可以适用多个消费者、多个厂商、多种产品和多种要素的场合。本章第一节指出，长期的完全竞争条件下存在一组一般均衡价格P1，P2，…，Pn和w1，w2，…，wm，在这组价格下所有市场同时达到均衡。消费者和厂商作为价格的接受者都无力影响这一组价格。根据式3—29，任意一个消费者为获得最大效用所购买的第s种商品和第t种商品的数量必须满足： MRSst＝ Ps （1≤s，t≤n） （9—9） Pt于是就有： xABC=MRSst=MRSst=……=MRTSuv （9—10） MRSstA这里，MRSst表示消费者A关于第s种商品和第t种商品的边际替代率，A、B、C等是经济中的所有 消费者。式9—10说明消费者的理性购买导致交换的帕累托最优（即式9—5可以成立）。 根据式4—20，任一厂商为了获得最大利润（最优要素组合是利润最大的必要条件），所雇佣的第u种要素和第v种要素的数量必须满足： MRTSuv＝ wu （1≤u，v≤m） （9—11） wv于是就有： xabc=MRTSuv=MRTSuv=……=MRTSuv （9—12） MRTSuva式中：MRTSuv表示厂商a关于第u种要素和第v种要素的边际技术替代率；a、b、c等为经济中的所 有厂商。式9—12说明厂商的理性生产导致生产的帕累托最优（即式9—6可以成立）。 最后，我们来说明完全竞争会导致交换和生产的帕累托最优，即式9—7也成立。已知MRTst=－dＱt/dＱs是再生产1单位第s种商品所不得不减少的第t种商品的数量，即第s种商品的单位机会成本，因为在长期的完全竞争下，机会成本就是经济成本，所以MRTst=－dＱt/dＱs就是第s种商品的边际成本。这一