CD?CE,?EDC是等边三角形0??BCE??FDC?60,DEC?E EFA?EE,??FDEA?E?CEF,??DAC?BC?BCE?FDC（选证三）A BE?ACF证明：
0 ABC是等边三角形,?AB?AC,?ACB??BAC?60CD?CE,?EDC是等边三角形0??AEF??CED=60EF?AE,?AEF是等边三角形 ?AE?AF,?EAF?600?ABE?ACF（2）四边形ABDF是平行四边形。
BCDC由（1）知，A、E、A都是等边三角形。 EF0??CDE??ABC??EFA?60?ABDF,BDAF,?四边形ABDF是平行四边形（3）由（2）知，）四边形ABDF是平行四边形。
?EFAB,EF?AB,?四边形ABEF是梯形过E作EG?AB于G，则230 EG?AEsin60?BC?233211?S?EGAB?EF??23??4103???6??四边形ABEF22
三：如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F． （1）点D是△ABC的________心； （2）求证：四边形DECF为菱形．
解：(1) 内.
(2) 证法一：连接CD， ∵ DE∥AC，DF∥BC，
∴ 四边形DECF为平行四边形， 又∵ 点D是△ABC的内心，
∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD， 又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC ∴ FC＝FD，
∴ □DECF为菱形．
图7
证法二：
过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I． ∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC， ∴DI=DG， DG=DH． ∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形， ∴S□DECF=CE·DH =CF·DI， ∴CE=CF．
∴□DECF为菱形．
四：在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋
33PQ；
（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。
解：（1）证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60° ∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°
∵PQ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB ∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP
过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM
∵∠EPM=30°∴PM=
32PE ∴PE=
33PQ
∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+
33 PQ
（2）解：由题意知AE=
1BE ∴DE=BE=2AE 2 ∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4 当点P在线段ED上时（如图1） 过点Q做QH⊥AD于点H QH=
11PQ=x 22 由（1）得PD=BE-
33PQ=4-
33x
∴y=
321PD·QH=?x?x 212 当点P在线段ED的延长线上时（如图2）过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H’ ∴QH’=
1x 2 过点E作EM’⊥PQ于点M’ 同理可得EP=EQ=
33PQ ∴BE=
33PQ-PD
∴PD=
33x-4 y=
321PD·QH’=x?x 212 （3）解：连接PC交BD于点N（如图3）∵点P是线段ED中点 ∴EP=PD=2 ∴PQ=23 ∵DC=AB=AE·tan60°=23
?DC=4 ∴cos∠DPC= ∴PC=PD ∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90° ∵PQ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=
22PD1= ∴∠DPC=60° PC21PD=1 222 QC=PQ=27 ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC ?PC ∴∠PCN=∠PCF……………1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC ∴
211PGPN ∴PG= ?27=?3QCPQ23
五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长
为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示．意图,并写出它们的周长. ．．
2224
解：如图所示
六：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.
BEC 证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=∠BAD=90° AB=CD ∴∠BEF+∠BFE=90°
∵EF⊥ED∴∠BEF+∠CED=90° ∴∠BEF=∠CED∴∠BEF=∠CDE 又∵EF=ED∴△EBF≌△CDE ∴BE=CD
∴BE=AB∴∠BAE=∠BEA=45° ∴∠EAD=45° ∴∠BAE=∠EAD ∴AE平分∠BAD
FA（第23题）D
七：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.
(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
AFBEHDAFBEDG图（1）
CGACFH(A)E(B)DB图（2）
GC
解:(1)过点G作GH⊥AD,则四边形ABGH为矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,∵∠AEF+∠
EFAEAFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴,∴EF=5,∴S△EFG=EF·EG=×5×10=25. ?EGGH(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF,∴BG=EG,AB=EH,
∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,
∴BG=EF,∴四边形BGEF为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF为菱形； 连结BE，BE、FG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得
H(A)AFOBGCE(B)DFH=AF=6，∴AE=16，∴BE=
G?BO=45。 FG=2OG=2B22AE?AB=8
225，∴BO=45，∴
八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个
不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）
（2）写出你的作法．