2.1 代数学
欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕，其中包括三、四次方程的求解与符号代数的引入。16世纪意大利数学最重要的成就。
符号代数。
认识到了数学符号的意义，符号系统的建立使代数成为一门科学，从常量数学到变量数学的标志，反映了数学高度抽象与简炼。
最早在印刷图书中用“＋”作加、用“－”作减的是维德曼（德，1460－约1499年），1489年出版的《各种贸易的最优速算法》（又译《简算与速算》）创用“＋”、“－”号用于表示剩余和不足，并未引起人们的注意。1544年施蒂费尔及其他一些数学家相继采用了这两个抽象数学语言符号才真正地、正式地登上了加减运算的舞台，渐渐地名扬四海，才得到了大家公认和使用。
2.2 三角学
欧洲文艺复兴始于意大利，之后是德国。德国在数学研究上独占魁首，遥遥领先除意大利以外的欧洲各国。
1450年以前，三角学主要是球面三角。15、16世纪德国人从意大利人获得了阿拉伯天文学著作中的三角学知识，如阿尔·巴塔尼（858－929年）的《历数书》、纳西尔丁·图西（1201－1274年）的《论完全四边形》。在16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。
2.3 射影几何
欧洲几何学创造性的复兴晚于代数学。文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自艺术，因为画家们在将三维世界绘制到二维画布上时，面临着一些投影的问题。正是由于绘画、制图中提出的问题的刺激导致了富有文艺复兴特色的学科，透视学的兴起，从而诞生了射影几何学。研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质的几何学，一度也叫做投影几何学。
起源于绘画和建筑学中的透视法，也就是投影和截景。公元前200年左右，古希腊数学家阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。文艺复兴时期，绘画艺术的盛行促进了理论的发展，透视法成为一门几何与绘画结合的热门学科。阿尔贝蒂（意，1404－1472年）于1435年发表《论
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绘画》一书，阐述了最早的数学透视法思想，他引入投影线和和截景概念，提出在同一投影线下和景物的情况下，任意两个截景间有何种数学关系或何种共同的数学性质等问题，这些问题是射影几何发展的起点。
随着解析几何和后来的微积分的迅猛发展，该书逐渐被遗忘了。直到1845年，法国几何学家、数学史家沙勒才在巴黎的一个旧书店里发现这本书的手抄本，此时射影几何正处于复兴时期，人们才认识到德沙格这本著作的价值。1950年前后，在巴黎国立图书馆又找到它的原版本，历经300余年的沧桑岁月，它终于在诸多数学名著中有了一个适当的位置。
帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圆锥曲线论》（1779年发现），帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。不同于物理学上的帕斯卡定律：加在密闭液体任一部分的压强，必然按其原来的大小，由液体向各个方向传递。
射影几何的综合方法，用代数方法处理问题更有效，射影几何产生后很快让位于代数、解析几何和微积分，他们的工作也渐被遗忘，迟至19世纪才又被人们重新发现。
2.4 对数
16世纪前半叶，欧洲人把实用的算术计算放在数学的首位。由于天文和航海计算的需要，计算技术最大的改进是对数的发明与应用。
3、15－17世纪的中国数学 两个特点：珠算发展，西学东渐。 3.1 珠算
珠算盘是算筹的发展。珠算盘的记载最早见于元末陶宗仪的《南村辍（chuò）耕录》（1366年）。明代算盘完全取代了算筹，珠算开始普及于中国，现存最早的珠算书是1573年（明万历元年）闽建（今福建建瓯）徐心鲁订正的《盘珠算法》。
3.2 西方数学的传入
西方数学在中国早期传播的第一次高潮是从17世纪初到18世纪初（明末清初），标志性事件是欧几里得《原本》的首次翻译。《原本》是世界上最早的数学公理化著作，影响最广泛的数学名著。罗素（英，1872－1970年）：“欧几里得的《原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪
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念碑之一”。
在数学上，1606年，徐光启与利玛窦合作完成了欧几里得《原本》前6卷的中文翻译，并于1607年在上海刊刻出版，定名《几何原本》，中文数学名词“几何”由此而来。徐光启说，“此书为益，能令学理者祛其浮气，炼其精心，学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”，对未能完成全部的翻译而感遗憾，曾说：“续成大业，未知何日，未知何人，书以俟（sì）焉”。《几何原本》是中国近代翻译西方数学书籍的开始，从此打开了中西学术交流的大门，相继出现了许多欧洲数学著作。
耶稣会士利公之墓 。 3.3 明末的中国科技
明朝（1368－1644年）、清朝（1616－1911年）。
李时珍（1518－1593年）《本草纲目》，徐光启（1562－1633年）《农政全书》，徐霞客（1586－1641年）《徐霞客游记》，宋应星（1587－ ？）《天工开物》。这为我们留下了一个很好的课题：近代科学、近代数学为什么没有在中国形成？
思考题
1、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。 2、简述符号“＋”、“－”的历史。
3、通过具体例子说明16世纪的意大利数学家是如何求解三、四方程的。 4、学习珠算有现实作用吗？
5、简述欧几里得《原本》在中国出版的历史意义。 6、试分析中国传统数学自元末以后逐渐衰微的原因。
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第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立
本讲内容有：近代科学的兴起、解析几何的诞生、微积分的创立。 1、近代科学的兴起
科学思想与方法论;天文学的革命;经典力学体系的诞生;化学确立为科学;生物学的孕育
近代科学的一般特征：研究的方法论化、实验哲学的兴起、自然的数学化。 2、解析几何的诞生
近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪对运动与变化的研究已成为自然科学的中心问题，导致变量数学的亮相，变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。
解析几何的基本思想是在平面上引进坐标系，建立平面上点和有序实数对之间的一一对应关系，三步曲：发明坐标系、认识数形关系、作y=f（x）的图形。
这种思想古代曾经各自分别出现过，如阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中引进了一种斜角坐标系，奥马·海雅姆通过圆锥曲线交点解三次方程的研究，斐波那契《实用几何》（1220）中用代数方法去解几何问题，奥雷斯姆《论形态幅度》（约1350－1360年间）讨论了物体运动中用曲线表示函数的图象。
3、微积分的创立 3.1 孕育（16－17世纪）
开普勒（德，1571－1630年），1609年、1619年公布了通过观测归纳出的行星运动三大定律，如何从数学上推证这定律成为当时自然科学的中心课题之一。事实上，自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，所面临的数学困难，关注的焦点：瞬时速度问题、切线问题，极值问题，长度、面积、体积、重心和引力计算问题。在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法。
邮票：莱布尼茨和图解（德国，1996）；莱布尼茨在汉诺威（圣文森特，1991）。 3.4 微积分优先权之争
德丢勒（瑞士，1664－1753年）1699年说“牛顿是微积分的第一发明人”，而莱布尼茨作为“第二发明人”，“曾从牛顿那里有所借鉴”。莱布尼茨立即对此
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作了反驳。1712年，英国皇家学会成立了“牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会”，1713年，英国皇家学会裁定“确认牛顿为第一发明人”。1713年，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。
英国与欧洲大陆数学家分道扬镳，科学史上最不幸的一章。
附：16－17世纪出生的数学家
意 卡尔丹(1501-1576) 邦贝利(1526-1573) 韦达(1540-1603) 法 梅森(1588-1648) 英 16世纪 塔塔利亚(1499-1557) 伽利略(1564-1642) 卡瓦列里 (1598-1647) 德沙格(1591-1661) 笛卡尔(1596-1650) 费尔马(1601-1665) 帕斯卡(1623-1662) 罗尔(1652-1719) 沃利斯(1616-1703) 巴罗(1630-1677) 胡克(1635-1703) 牛顿(1642-1727) 德 施蒂费尔（1487－1567）开普勒(1571-1630) 克拉维斯（1537－1612） 程大位(中, 1533-1606) 斯蒂文(荷, 1548-1620) 纳皮尔(苏格兰, 惠更斯(荷, 1629-1695) 1550-1617) 关孝和(日, 1642-1708) 雅格布·伯努利(瑞, 1654-1705) 约翰·伯努利(瑞, 1667-1748) 莱布尼茨(1646-1716) 哈雷(1656-1742) 泰勒(1685-1731) 斯特林(1692-1770) 麦克劳林(1698-1746) 哥德巴赫(德, 1690-1764) 洛比塔(1661-1704) 棣莫弗(法, 1667-1754) 托里切利(1608-1647) 17世纪 思考题
1、解析几何产生的时代背景是什么？ 2、平面解析几何的产生与形数结合的思想。 3、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。 4、17世纪对哪些问题的研究导致了微积分的诞生？ 5、关于牛顿“站在巨人们肩膀上”的启示。 6、简述莱布尼茨关于微积分的工作。
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