在于语句只有逻辑结构而无实际内容，从公式至公式的演绎过程不涉及至公式的任何意义。
1928年提出4个实施步骤：分析的无矛盾性，选择公理的无矛盾性，算术及分析形式的完全性，一阶谓词逻辑的完全性。
1928年《数理逻辑基础》，1934、1939年《数学基础》（2卷本）中对形式主义纲领作出了系统的总结和全面的论述。
上述三大学派，在20世纪前30年间非常活跃，相对争论非常激烈。现在看来，他们都未能对数学基础问题作出令人满意的解答。但它们的研究却将人们对数学基础的认识引向了空前的深度。1930年代，哥德尔的定理引起的震动之后，关于数学基础的争论渐趋淡化。数学家们更多地专注于数理逻辑的具体研究。
题。
思考题
1、以抽象代数为例谈谈数学的抽象性。
2、代数学的发展经历了哪几个不同的阶段？在这些不同的阶段中，代数学的中心问题是什么？
3、在数学国际化中看“孤独的数学家”。
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第十二讲：20世纪数学概观 II
介绍20世纪的一些数学研究成果及数学奖 1、数学研究成果五例
四色问题、动力系统、鲁金猜想、庞加莱猜想、数论。 1.1 四色问题
图论：以图为研究对象的数学分支。图是若干给定点及连接两点的线所构成的图形。
四色问题有一个令人迷惑的地方：在更复杂的曲面上，问题的解决反倒容易。如希伍德曾证明了环面的七色定理。到1968年，数学家们已解决了除平面和球面以外所有曲面上的地图四色问题，恰恰是平面和球面这种最简单的情形，却呈现出奇特的困难。
2、动力系统
描述决定性系统的数学模型都可称为动力系统，通常所说的动力系统多指由映射迭代生成的系统或常微分系统，其核心问题是结构的稳定性。
动力系统的研究由于拓扑方法和分析方法的有力结合而取得了重大进步，借助于计算机模拟又引发具有异常复杂性的混沌、分岔、分形理论，这方面的研究涉及众多的数学分支。20世纪30年代后的发展：结构稳定性、拓扑学方法、代数几何方法。
3、鲁金猜想
傅里叶（法，1768－1830年）《热的解析理论》（1822），19世纪狄里克雷（德，1805－1859年）、黎曼（德，1826－1866）、康托（德，1845－1918年）等数学家研究了傅里叶级数的收敛性等问题。
4、庞加莱猜想
数学家们已经知道：任意一个二维单连通闭曲面都与S^2同胚。1904年的庞加莱（法，1854－1912年）猜想：单连通的三维闭流形同胚于S^3。以后人们又将庞加莱的猜想推广到n维情形：广义庞加莱猜想。
2002年佩雷尔曼（俄，1966－ ）对猜想的证明做了奠基工作，并获得2006年的菲尔茨奖（拒绝出席颁奖）。2006年6月3日丘成桐在中科院晨兴数学中心宣布，6月4日央视新闻联播报道“中国数学家朱熹平、曹怀东完全破解庞加莱
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猜想”。
5、数论
各个时期一些代表人物。
古希腊：毕达哥拉斯（公元前560－前480年）、欧几里得（公元前325－前265年）、丢番图（公元200－284年）；
17世纪：费马（法，1601－1665年）；
18世纪：欧拉（瑞，1701－1783年）、拉格朗日（法，1736－1813年）； 19世纪代数数论：高斯（德， 1777－1855年）、库默尔（德，1810－1893年）、戴德金（德，1831－1916年）；19世纪解析数论：狄里克雷（德，1805－1859年）、黎曼（德，1826－1866年）、阿达玛（法，1865－1963年）。
留给20世纪的数论问题：素数判定、哥德巴赫猜想（1742）、费马大定理（1670）、黎曼假设（1859）。
哥德巴赫猜想。
偶数哥德巴赫猜想的进展主要是依靠改进筛法取得的。1919年布龙（挪，1885－1978年）利用他的新筛法证明了9+9，以后大约半个世纪的时间内，数学家们利用各种改进的筛法对于较少的k、l，k+l，步步为营地向最终目标逼近。如，1940年布赫塔布（苏）证明了4+4，1948年瑞尼（匈，1921－1970年）证明了1＋c，1957年王元（中，1930－ ）证明了2＋3，1962年王元和潘承洞（中，1934－1997年）证明了1＋4，1965年罗斯（英，1925－ ，F）、邦别里（意，1940－，F）证明了1＋3，1966年陈景润（中，1933－1996年）宣布了1＋2，并于1973年发表了全部证明。
2、数学奖
阿贝尔奖、菲尔兹奖、沃尔夫奖、邵逸夫奖。
沃尔夫奖（1978－ ）：沃尔夫基金会设有：数学、物理、化学、医学、农业五个奖（1981年又增设艺术奖）。
1978年盖尔范德（苏联，1913－ ）关于泛函分析、群表示论获奖，1978年西格尔（德，1896－1981年）关于数论、多复变函数获奖，1984年陈省身（中－美，1911－2004）关于微分几何获奖。
邵逸夫奖（2004－ ）：2002年11月在香港设立，旨在表彰在学术研究或
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应用领域取得突破性成果，并对人类生活产生深远影响的科学家，设天文学、生命科学与医学、数学科学三个奖项（“诺贝尔奖”所没有的），每年颁奖一次，每项奖金100万美元。评审委员会主任扬振宁（1922－ ），1957年获得诺贝尔物理学奖。
思考题
1、再谈您的理解：数学是什么?
2、“数学问题是推动数学发展的动力”，谈谈您的理解。 3、试论数学问题及其解决对数学发展的作用。
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