5、数论
19世纪以前数论只有一些孤立的结果。自从高斯（德， 1777－1855年）在1801年发表了他的《算术研究》后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展，这一年高斯只有24岁。
思考题
1、谈谈数e的历史与作用。
2、虚数的历史地位是如何逐步确立的？ 3、简述高斯的数学贡献。 4、对素数判定意义的分析。
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第九讲：19世纪的几何与分析I
主要内容：几何学的变革、分析的严格化。介绍了蒙日（法，1746－1818年）、罗巴切夫斯基（俄，1792－1856年）、黎曼（德，1826－1866年）、克莱因（德，1849－1925年）、魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）和康托（德，1845－1918年）的生平和数学贡献。
1、几何学的变革
几何学的基础：现实空间与思维空间，内容涉及微分几何、非欧几何、射影几何、统一的几何、公理化方法。
1.1 微分几何
平面曲线理论17世纪基本完成。1673年惠更斯（荷，1629－1695年）的渐伸线、渐屈线，1671年和1686年牛顿和莱布尼茨的曲率、曲率半径，1691年和1692年约翰?伯努利（瑞，1667－1748的）的曲线的包络，1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论。
18世纪的空间曲线、曲面理论。
1795年蒙日（法，1746－1818年）《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究。
1.2 非欧氏几何
非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。它作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位，许多数学家都相信欧几里得几何是绝对真理。然而，欧几里得几何并非无懈可击。从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀，这就是平行公设。
平行公设。若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
平行公理的研究（公元前3世纪至1800年）。从古希腊时代起，数学家就一直没有放弃消除对平行公设疑问的努力。一些更加自然的等价公设被提出。如普
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莱菲尔（苏格兰，1748－1819年）公设：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行。
用欧氏几何的眼光来看，罗巴切夫斯基几何有许多令人惊奇的结果： （1）三角形内角之和小于两直角，假如三角形变大，使它的所有三条高都无限增长，则它的三个内角全部趋向于零；
（2）不存在面积任意大的三角形；
（3）如果两个三角形的三个内角相等，它们就全等。
一些人说新几何是“荒唐的笑语”，是“对有学问数学家的嘲讽”。 1.3 射影几何
19世纪以前射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的。早期开拓者：德沙格（法，1591－1661年），帕斯卡（法，1623－1662年），1799年蒙日（法，1746－1818年）的《画法几何学》（1920年蔡元培给的译名），1803年卡尔诺（法，1753－1823年）的《位置几何学》。将射影几何真正变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受害教于蒙日的庞斯列。
1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置几何学》提出一套方案，不借助长度概念就得以建立射影几何，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科，且射影几何在逻辑上要先于欧氏几何概念，因而射影几何比欧氏几何更基本。
1.4 统一的几何学
非欧几何的出现引起了人们关于几何观念和空间观念的深刻革命。寻求不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，成为数学家们追求的一个目标。
克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富有科学魅力，吸引了一批有杰出才华的年青数学家，使之成为20世纪初世界数学的中心之一。
克莱因：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”
1.5 几何学的公理化
克莱因引导许多年轻数学家到哥廷根工作，其中最重要的一位是希尔伯特。希尔伯特至哥廷根3年以后，提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的
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途径：公理化方法。
公理化方法始于欧几里得，当19世纪的数学家重新审视《原本》时发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，要重建欧氏几何及其他包含同样弱点的几何基础。
2、分析的严格化
经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。分三个方面来论述：分析的算术化、实数理论、集合论。
2.1 分析的算术化
所谓分析是指关于函数的无穷小分析，来源于第二次数学危机所产生的问题，核心概念是函数、无穷小，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。
魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析严格化潮流中，以ε－δ语言，系统建立了实和复分析的严谨基础，基本上完成了分析的算术化。然而，由于他是通过课堂讲授完成这一任务的，没有发表有关论著，所以对研究他在这一领域的工作带来了困难。 2.2 实数理论
实数理论。魏尔斯特拉斯很早就认识到，为使分析具备牢靠的基础（例如无懈可击地证明连续函数的性质），必须建立严格的实数论。他于1857年开始讲授的解析函数论等课程，总要在第一阶段花很多时间阐明他关于实数的理论。
实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
2.3 集合论
在分析的严格化过程上，一些基本概念如极限、实数、级数等的研究都涉及到由无穷多个元素组成的集合，特别是在对那些不连续函数进行分析时，需要对使函数不连续或使收敛问题变得很困难的点集进行研究，这样就导致了集合论的建立。如康托是在研究函数的三角级数表达式的唯一性问题时开始接触无穷点集
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的。
思考题
1、从非欧几何学的建立谈谈您对几何真实性的认识。 2、非欧几何的诞生有何意义？
3、魏尔斯特拉斯对于分析的严格化有哪些重要贡献？ 4、试比较魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔的实数构造方法。
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