第七讲：18世纪的数学：分析时代
主要内容：微积分的发展、数学新分支的形成、18世纪的中国数学、19世纪数学展望。
1、微积分的发展
（1）泰勒（英，1685－1731年），以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。1714年获法学博士， 1712年进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会，1714－1718年英国皇家学会秘书，1715年出版《正和反的增量法》，陈述了他早在1712年给梅钦的信中就已获得的著名定理。
（2）麦克劳林（英，1698－1746年），英国皇家学会会员，1719年在访问伦敦时见到了牛顿，从此便成为了牛顿的门生，1724年由牛顿的大力推荐与资助，他获得了爱丁堡大学的职务，1742年撰写的《流数论》以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。此书之意图是为牛顿流数法提供一个几何框架，以答复贝克莱大主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击，该书写得相当审慎周到，以致在1821年柯西的著作问世之前，一直是比较严密的微积分标准教材。著名的麦克劳林级数就是在本书中提出的。麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培，并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛顿的推荐”以表达他对牛顿的感激之情。
（3）斯特林（英，1692－1770年），英国皇家学会会员，特别值得指出的是，微积分中的麦克劳林定理早在麦克劳林发表之前，斯特林在1717年对代数的研究以及1730年在他的《微分法兼论无穷级数的求和与插值》中就得到了这个定理，另外，他还给出了所谓斯特林公式。
（4）棣莫弗（法，1667－1754年），法国加尔文派教徒，在新旧教派斗争中被监禁，释放后1686年移居英国，1697年被选入皇家学会会员，但他从未获得教授职位，不得不当家庭教师以维持穷苦的生活，进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会，1730年《分析杂论》中首先给出了所谓的斯特林公式，1707－1730年建立了棣莫弗定理的最初形式，完整的棣莫弗定理是欧拉于1748年给出的。关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天需要比前一天多睡1/4小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到24小时时，棣莫弗就长眠不醒了。
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（6）雅格布?伯努利（瑞，1654－1705年），1676年取得了神学硕士学位，当他读了笛卡儿、沃利斯等人的著作后，对数学发生了强烈的兴趣，就毅然违背其父要他献身神学的意愿，转而投身数学。他在荷兰及英国旅行期间，结识了一些知名的数学家，并成了莱布尼茨的好友，从此便和莱布尼茨有频繁的书信往来，共同探讨微积分等问题。17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人，工作涉及解析几何、微积分、变分法、概率论，1694年《微分学方法》，1698年证明了调和级数的发散性。
（7）约翰?伯努利（瑞，1667－1748年），1694年医学博士，其论文是关于肌肉的收缩问题，但不久他迷上了微积分学，并且很快的掌握了它，数学工作涉及解析几何、微分方程、变分法，18世纪初分析学的重要奠基者之一，欧拉（瑞，1707－1783年）的老师，1700年左右发展了积分法，1712年被选为英国皇家学会会员，1742年他写的《积分学教程》（写于1691－1692年）是微积分发展中的重要著作，在这本书中汇集了他在微积分方面的研究成果，不仅给出了各种不同的积分法的例子，还给出了曲面的求积、曲线的求长和不同类型的微分方程的解法，使微积分更加系统化，这本著作使微积分的作用在欧洲大陆得到正确评价，而自己也因此成为数学界最有影响的人物之一。洛比达（法，1661－1704年）法则（1694年约翰?伯努利写信告诉洛必达的），1696年《无穷小分析》。“没有什么比提出困难而又有用的问题更能激发杰出的天才人物来为增长人类知识而工作了。”
（8）丹尼尔?伯努利（瑞，1700－1782年），著名的伯努利家族中最杰出的一位，他是约翰·伯努利的第二个儿子，医学博士（论文题目是“呼吸的作用”）、植物学教授、生理学教授、物理学教授、哲学教授，在彼得堡工作8年（1725—1733年），1727年他与欧拉在一起工作，起初欧拉作为丹尼尔的助手，后来接替了丹尼尔的数学院士职位，1733年他回到了巴塞尔，开始了与欧拉之间的最受人称颂的科学通信，在通信中，丹尼尔向欧拉提供最重要的科学信息，欧拉运用杰出的分析才能和丰富的工作经验，给以最迅速的帮助，他们先后通信40年，最重要的通信是在1734－1750年间，他们是最亲密的朋友，也是竞争的对手。1750年被选为英国皇家学会会员。
（9）欧拉（瑞士，1707－1783年），18世纪最伟大的数学家、分析的化身，
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“数学家之英雄”，13岁进入巴塞尔大学文科，约翰·伯努利任该校数学教授，他每天讲授基础数学课程，同时还给那些有兴趣的少数高材生开设更高深的数学、物理学讲座，欧拉是约翰·伯努利的最忠实的听众。工作于圣彼得堡科学院（1727－1741年，1766－1783年）和柏林科学院（1741－1766年），从那时起，欧拉的一生和他的科学工作都紧密地同圣彼得堡科学院和俄国联系在一起，他再也没有回过瑞士，但是，出于对祖国的深厚感情，欧拉始终保留了他的瑞士国籍。1748年《无穷小分析引论》，1755年《微分学原理》，1768－1770年《积分学原理》（3卷）成为分析的百年传世经典之作，最多产的数学家，生前发表的著作与论文有560余种，死后留下了大量的手稿。
“四杰”：阿基米德、牛顿、欧拉、高斯。
除了伯努利家族和欧拉外，18世纪推进微积分及其应用贡献卓著的欧陆数学家中，首先应该提到法国学派。
背景：法国启蒙运动。
启蒙运动就是启迪蒙昧，反对愚昧主义，提倡普及文化教育的运动。但就其精神实质上看，它是宣扬资产阶级政治思想体系的运动，并非单纯是文学运动。它是文艺复兴时期资产阶级反封建、反禁欲、反教会斗争的继续和发展，直接为1789年的法国大革命奠定了思想基础。
代表人物：代表大资产阶级利益的伏尔泰（1694－1778年）、代表中等资产阶级利益的孟德斯鸠（1689－1755年）、代表中、小资产阶级利益的卢梭（1712－1778年）和以狄德罗（1713－1784年）为代表的百科全书派。
（10）达朗贝尔（法，1717－1783年），多产的科学家，他对力学、数学和天文学的大量课题进行了研究，没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿和当代著名数理科学家们的著作，算是自学成才，
（11）拉格朗日（法，1736－1813年），数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献，但他主要是数学家，分析学中仅次于欧位的最大开拓者，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力，全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。
伯克莱主教（爱尔兰，1985）。伯克莱（爱尔兰，1685－1753年），1734年《分析学家，或致一位不信神的数学家》，“这些消失的增量究竟是什么呢？它
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们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”
2、数学新分支的形成
扩展微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，成为18世纪数学的鲜明特征之一，产生的新思想使数学本身大大受惠，一系列新的数学分支在18世纪成长起来。如，常微分方程、偏微分方程、变分法、微分几何、概率论等。
3、18世纪的中国数学
18世纪的中国经济，见荷兰格罗宁根大学经济学名誉教授安格斯·麦迪逊教授统计表。“康乾盛世”（1661－1795年）134年，其中康熙61年（1662－1722年），雍正13年（1723－1735年），乾隆60年（1736－1795年），占清朝立国（1644—1911年）268年之半。 注：《四库全书》中的科技文献
4、19世纪的数学展望
18世纪末数学家们对自己从事的这门科学却奇怪地存在着一种普遍的悲观情绪，数学家的主导意见：数学的资源已经枯竭。
思考题
1、谈谈您对于“读读欧拉，他是我们大家的老师”（拉普拉斯语）的看法。 2、牛顿和莱布尼茨有关微积分理论优先权的争论对18世纪英国与欧陆国家的数学发展产生了什么影响？
3、微积分的理论基础对于微积分的进一步发展有什么样的作用？试举例予以说明。
4、为何在“康乾盛世”中国数学明显落后于西方？
5、试分析18世纪末数学家的主导意见：数学的资源已经枯竭。
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第八讲：19世纪的代数
代数学的新生，突破传统，表现在方程与根、数系扩张、行列式与矩阵、布尔代数、代数数论等方面。介绍了数学家高斯（德， 1777－1855年）、阿贝尔（挪，1802－1829年）、伽罗瓦（法，1811－1832年）、费马（法，1601－1665年）和布尔（英，1815－1864年）的生平和数学贡献。
1、代数方程根式解
19世纪初代数学研究的注意力仍是解代数方程，关注于五次或高于五次的代数方程上。1799年高斯（德，1777－1855年）提交了他的博士论文，证明了代数基本定理：任一多项式都有根。
注：为适应法国数学研究的需要，刘维尔在1836年1月创办《纯粹与应用数学杂志》，并亲自主持了前39卷的编辑出版工作（1836－1874年）。该杂志刊登纯粹、应用数学领域所有分支的论文，记录了19世纪中期的40年里数学活动的一部分重要内容，被后人称为《刘维尔杂志》。
抽象化尝试。置换群，1849－1854年凯莱（英，1821－1895年）引入抽象群；伽罗瓦域，1893年韦伯（德，1842－1913年）抽象域。他们的工作酝酿着现代数学。
2、数系扩张
实数系。1737年欧拉（瑞，1701－1783年）证明了e是无理数，1761年兰伯特（法，1728－1777年）证明了π是无理数，1844年刘维尔（法，1809－1882年）第一次显示了超越数的存在，1873年和1882年埃尔米特（法，1822－1901年）和林德曼（德，1852－1939年）分别证明了e和π是超越数。由此解决了尺规作图中“化圆为方”问题的不可能。
3、行列式与矩阵
关于线性方程组解的发展，形成了行列式和矩阵的理论。在此简述一些历史时刻。
4、布尔代数
来源于对数学和逻辑基础的探讨。莱布尼茨（德，1646－1716年）想要发明一种通用的语言，以它的符号和专门的语法来指导推理，建立一种推理代数，提出思维演算和逻辑的数学化思想，一些工作的细节直到20世纪初才出版。
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