第十讲：19世纪的几何与分析II
主要内容有分析的拓展、19世纪的中国数学。介绍了数学家柯西（法，1789－1857年）、拉普拉斯（法，1749－1827年）、傅里叶（法，1768－1830年）、格林（英，1793－1841年）、庞加莱（法，1854－1912）和李善兰（清，1811－1882年）的生平和数学贡献。
1、分析的拓展
复变函数论、解析数论、微分方程。 1.1 复变函数论
主要进步是复函数的偏导数与积分理论的建立。
1752年和1777年获得了达朗贝尔－欧拉条件（柯西－黎曼条件），1782－1812年拉普拉斯（法，1749－1827年），1815年泊松（法，1781－1840年）讨论了复函数的积分。
复分析真正作为现代分析的一个研究领域，是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。
1.2 解析数论
1737年欧拉的恒等式在数论的研究中引进了分析方法：解析数论。解析数论作为有意识地使用分析方法研究数论问题的一门分支是从狄里克雷开始的。1837年狄里克雷（德，1805－1859年）用分析方法证明了欧拉－勒让德提出的素数问题，狄里克雷引入的L函数成为研究数论问题的重要工具。
1.3 偏微分方程
从牛顿时代起，物理问题就成为数学发展的一个重要源泉。18世纪数学和物理的结合点主要是常微分方程。随着物理科学所研究的现象从力学向电学以及电磁学扩展，到了19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。
1.4 常微分方程
解的存在性：1820－1830年柯西获得第一个解的存在性定理，1869年李普希茨条件，1890年皮卡逐步逼近定理。关于偏微分方程解的存在唯一性定理：柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理。
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2、19世纪的中国数学
2.1 李善兰（清，1811－1882年）
西方数学在中国早期传播的第二次高潮是从19世纪中叶开始。李善兰是这一时期最重要的中国算学家。李善兰，清浙江海宁人，自幼刻苦自习数学，9岁时，李善兰发现父亲的书架上有一本中国古代数学名著《九章算术》，感到十分新奇有趣，从此迷上了数学，14岁时，李善兰又靠自学读懂了欧几里得《几何原本》前六卷。李善兰在《九章算术》的基础上，又吸取了《几何原本》的新思想，这使他的数学造诣日趋精深。
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第十一讲：20世纪数学概观 I
主要内容：国际数学家大会、纯粹数学的发展、数学基础大论战。介绍希尔伯特（德，1862－1943年）、巴拿赫（波，1892－1945年）、诺特（德，1882－1935年）、柯尔莫哥洛夫（苏，1903－1987年）和哥德尔（奥－美，1906－1978年）的生平和数学贡献。
1、国际数学家大会
1893年为纪念哥伦布发现美洲大陆400周年，在芝加哥举办了“世界哥伦布博览会”，安排了一系列科学与哲学会议，数学家的“国际大会”即在其列。哥廷根大学的克莱因（德，1849－1925年）给大会带来了许多欧洲数学家的论文，并作了题为“数学的现状”的演讲，他强调“具有极高才智的人物在过去开始的事业，我们今天必须通过团结一致的努力和合作以求其实现”。这是数学史上第一次超越国界的数学家会议。但真正意义上的国际数学家大会是1897年在瑞士苏黎世工业大学召开的，庞加莱（法，1854－1912年）作了题为“关于纯分析和数学物理的报告”，后来被认定为“第一届国际数学家大会”。在这次会上通过的章程规定，两次大会之间可间隔3至5年，但从1900年第二届大会开始形成了每4年举行一次的惯例。在国际数学家大会的历史上特别重要的一次会议就是1900年在巴黎举行的会议，因为在这次会上希尔伯特（德，1862－1943年）作茧自缚了一个题为“未来的数学问题”的重要报告，他在报告中提出23个重大问题为20世纪数学的研究目标，这大大地推动了数学的发展。
2、纯粹数学的发展
20世纪数学的特点：结构数学与统一的数学。
更高度的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势，最初受到两大因素的推动：集合论观点的参透、公理化方法运用。集合概念及研究的对象被抽象，公理化方法不仅仅用来阐明建立一个理论的基础，已成为推动数学研究的具体工具。这此在20世纪逐渐成为数学抽象的范式，导致20世纪上半叶，实变函数、泛函分析、抽象代数、拓扑学等具有标志性分支的崛兴，所创造的抽象语言、结构及方法，又渗透到一些经典学科，我们以概率论的发展来说明。
2.1 实变函数论
集合论的观点在20世纪初首先引起积分学的变革，从而导致了实变函数论
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的建立。
2.2 泛函分析
变分法已接触到泛函，“函数的函数”也就是所谓的泛函。19世纪末、20世纪初首先由伏尔泰拉（意，1860－1940年）和阿达马（法，1865－1963年）在变分法的研究中开创。
2.3 抽象代数
经典代数学：求解代数方程和代数方程组，抽象代数学：公理化方法研究具有代数结构的集合。
2.4 拓扑学
形成：1736年欧拉（瑞，1707－1783年）解决哥尼斯堡七桥问题，1752年欧拉示性数V－E+F=2，1847年李斯廷（德，1808－1882年）《拓扑学引论》，1858年默比乌斯（德，1790－1868年）带，1874年克莱因（德，1849－1925年）瓶。
2.5 概率论
研究随机现象数量规律的数学分支。
来源：赌博问题－－1654年帕斯卡（法，1623－1662年）与费马（法，1601－1665年）通信讨论合理分配赌金的“点问题”并用组合方法给出正确的解答。1657年惠更斯（荷，1629－1695年）在《论赌博中的计算》是最早的概率论著作，提出数学期望。
作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布?伯努利（瑞，1654－1705年），1713年出版《猜度术》，伯努利大数定律，棣莫弗（法，1667－1754年）1738年出版《机会的学说》，发现二项分布的极限形式为正态分布。
拉普拉斯（法，1749－1827年）1774年提出古典概率的定义，1812年出版《分析概率论》，严格证明了棣莫弗－拉普拉斯积分极限定理（中心极限定理），研究了统计问题。1866年切比雪夫（俄，1821－1894年）建立了关于独立随机变量序列的大数定律，得到了切比雪夫中心极限定理。
19世纪末，科学家们发现了一些概率论悖论揭示出古典概率论中基本概念存在的一些矛盾与含糊不清之处。拉普拉斯的古典概率定义受到猛烈的批评。要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的真空。真正严格的公理化概论论只有在测
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度论与实变函数论的基础上可能建立。
20世纪40年代后：法国学派、苏联学派、日本学派、美国学派。 3、数学基础大论战
数学的严格基础，自古古希腊以来就是数学家们追求的目标。经过第一、二次数学危机后，似乎给数学家们带来了一劳永逸的摆脱基础危机的希望。1900年庞加莱（法，1854－1912年）在ICM上宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到。”1903年罗素（英，1872－1970年）提出一个简明的集合论悖论，打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础新的争论。
解决集合论悖论的尝试是从逻辑上去寻找问题的症结。数学家们对数学运用的逻辑提出了一些观点，形成了关于数学基础的三大学派。
3.1 逻辑主义
罗素（英，1872－1970年），受弗雷格（德，1848－1925年）和皮亚诺（意，1858－1932年）的影响，1903年《数学的原理》，1910－1913年《数学原理》（与怀特黑德（英，1861－1947年）合著）是逻辑广义的权威性论述，“数学就是逻辑”，全部数学可以由逻辑推导出来，通过符号演算的形式来建立逻辑体系，实现了逻辑彻底的公理化，对现代数理逻辑有重大贡献，但按类型论建立数学的体系一直未完成。1921年在中国讲学一年，1950年获得诺贝尔文学奖。
3.2 直觉主义
布劳威尔（荷，1881－1966年），受庞加莱（法，1854－1912年）的影响， 1907年博士论文《论数学基础》搭建了直觉主义的框架，数学独立于逻辑，数学的基础是一种能使人认识“知觉单位”1以及自然数列的原始知觉，坚持数学对象的“构造性”定义。不承认仅使用反证法的存在性证明，在集合论中也只承认可构造的无穷集合（如自然数列）。导致了对“排中律”的否定。
3.3 形式主义纲领
1900年希尔伯特问题：连续统假设；算术公理的相容性，表明希尔伯特对于数学基础的重视与兴趣。早年关于几何基础公理化方法的发展与深化。
1922年提出希尔伯特纲领：将数学彻底形式化为一个系统，必须通过逻辑的方法来进行数学语句的公式表达，并用形式的程序表示推理，通过有限的证明方法，借助超限公理，导出无矛盾的数学系统。形式主义与逻辑主义的重要区别
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