故,DN? （0,2,1），MA1?（2，?1,2）所以,cos
|DN||MA1|[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决.
2
[解析] 2?r=2?,r=1,S表=2?rh+2?r=4?+2?=6?.
答案:
1111 解析:VA?DED1?VE?ADD1??1??1?1?. 6326 【答案】33 【解析】点P、A、B、C、D为球O内接长方体的顶点，
球心O为该长方体对角线的中点，1 ??OAB的面积是该长方体对角面面积的，41?AB?23,PA?26，?PB?6，??OABD面积=?23?6=33 4【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想,该题灵活性较强,难度较大.该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条件中的垂直关系,把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了. 【答案】12+π
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,高位1,所以该几何体的体积为3?4?1???1?1?12??
【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出体积.
12?【解析】由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为2,高为1)与中间一个圆柱(底面圆半径
22为1,高为4)组合而成,故该几何体的体积是V???2?1?2???1?4?12?.
【点评】本题考查圆柱的三视图的识别,圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的,以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景,考查常见组合体的表面积.
答案
3 5【命题意图】本试题考查了正方体中的异面直线所成角的求解问题. 【解析】首先根据已知条件,连接DF,则由D1F//AE可知?DFD1或其补角为异面直线AE与D1F所成的角,设正方体的棱长为2,则可以求解得到
DF?D1F?5,DD1?2,再由余弦定理可得
D1F2?DF2?D1D25?5?43cos?DFD1???.
2D1F?DF2?55 【解析】正确的是②④⑤
②四面体ABCD每个面是全等三角形,面积相等
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180
? 11
④连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
【解析】表面积是56 该几何体是底面是直角梯形,高为4的直四棱柱几何体的的体积是
1V??(2?5)?4?4?56
2三、解答题 【答案】:(Ⅰ)(Ⅱ)
1 3【解析】:(Ⅰ)如答(20)图1,因AC=BC, D为AB的中点,故CD ?AB.又直三棱柱中,CC1? 面ABC ,故
CC1?CD ,所以异面直线CC1 和AB的距离为CD=BC2?BD2?5 (Ⅱ):由CD?AB,CD?BB1,故CD? 面A1ABB1 ,从而CD?DA1 ,CD?DB1故?A1DB1 为所求的二面角A1?CD?B1的平面角.
因A1C在面A1D是A1ABB1上的射影,又已知AB1?A1C, 由三垂线定理的逆定理得AB1?A1D,从而
?A1AB1,?A1DA都与?B1AB互余,因此?A1AB1??A1DA,所以Rt?A1AD≌Rt?B1A1A,因此AA12?AD?A1B1?8
从而A1D=AA1?AD?23,B1D?A1D?23 22AA1A1B1得?ADAA1A1D2?DB12?A1B121所以在?A? 1DB1中,由余弦定理得cosA1DB1?2A1D?DB13 【命题意图】本题主要以四棱锥为载体考查线线平行,线面垂直和线面角的计算,注重与平面几何的综合, 同时考查空
间想象能力和推理论证能力.
(1)(i)因为C1B1//A1? 平面ADD1 A1,所以C1B1//平面ADD1 A1. 1D1,C1B又因为平面B1C1EF?平面ADD1 A1=EF,所以C1B1//EF.所以A1D1//EF. (ii)
因为BB1?A1B1C1D1,所以BB1?B1C1,
又因为BB1?B1A1,所以B1C1?ABB1A1, 在
矩
形
ABB1A1中,F是AA的中点,即
tan?A1B1F?tan?AA1B?2.即 2?A1B1F??AA1B,故BA1?B1F.
所以BA1?平面B1C1EF.
(2) 设BA1与B1F交点为H,连结C1H.
12
由(1)知B1C1EF,所以?BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角. 在矩形ABB1A1中,AB?2,AA1?2,得
BH?44,在直角?BHC1中,BC1?23,BH?,得 6630BH30,所以BC与平面B1C1EF所成角的正弦值是. ?15BC115sin?BC1H? 解:(1)如图,在四棱锥P?ABCD中,因为底面
AD?B,C且AD//BC,又因为AD?PD,
面直线PA与BC所成的角.
PD?2,所以异在Rt?PDA中,tan?PAD?ADABCD是矩形,所以故?PAD或其补角是异
面直线PA与BC所成角
的正切值为2.
AD?CD,又由于(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故
PDC,而AD?平面AD?PD,CD?PD?D,因此AD?平面
ABC,D所以平面PDC?平面ABCD.
(3)在平面PDC内,过点P作PE?CD交直线CD于点E,连接EB.由于平面PDC?平面ABCD,由此得?PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.
在?PDC中,PD?CD?2,PC?23,可得?PCD?30? 在Rt?PEC中,PE?PCsin30??3
由AD//BC,AD?平面PDC,得BC?平面PDC,因此BC?PC
在Rt?PCB中,PB?PC2?BC2?13,在Rt?PEB中,sin?PBE?39. 13PE39 ?PB13所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为
[解析](1)连接OC. 由已知,?OCP为直线PC与平面ABC所成的角
设AB的中点为D,连接PD、CD.
因为AB=BC=CA,所以CD?AB.
因为?APB?90?，?PAB?60?，所以?PAD为等边三角形, 不妨设PA=2,则OD=1,OP=3, AB=4.
所以CD=23,OC=OD?CD?1?12?13. 在Rt?OCP中，tan?OPC?22OP339 ??OC1313(2)过D作DE?AP于E,连接CE. [来源:Z,xx,k.Com]
由已知可得,CD?平面PAB. 据三垂线定理可知,CE⊥PA,
所以,?CED为二面角B—AP—C的平面角.
13
由(1)知,DE=3
在Rt△CDE中,tan?CED?CD23??2 DE3故二面角B—AP—C的大小为arctan2
[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念,重点考查思维能力和空间想象能力,进一步深化对二面角
的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤:一找(寻找现成的二面角的平面角)、二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值).
[解](1)S1?ABC?2?2?23?23, P 三棱锥P-ABC的体积为
V?13S?ABC?PA?13?23?2?433 E D (2)取PB的中点E,连接DE、AE,则
A ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线 BC与AD所成的角
B C
在三角形ADE中,DE=2,AE=2,AD=2,
cos?ADE?22?22?22?2?2?34,所以∠ADE=arccos34. 因此,异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos34
[来源:学科网ZXXK]
证明:(I)设BD中点为O,连接OC,OE,则由BC?CD知CO?BD,
又已知CE?BD,所以BD?平面OCE.
所以BD?OE,即OE是BD的垂直平分线,所以BE?DE.
(II)取AB中点N,连接MN,DN,∵M是AE的中点,∴MN∥BE, ∵△ABD是等边三角形,∴DN?AB.由∠BCD=120°知,∠CBD=30°, 所以∠ABC=60°+30°=90°,即BC?AB,所以ND∥BC, [来源:学,科,网] 所以平面MND∥平面BEC,又DM?平面MND,故DM∥平面BEC. 另证:延长AD,BC相交于点F,连接EF.因为CB=CD,?ABC?900.
因
为
△
ABD为正三角形,所以
?BAD?600,?ABC?900,则?AFB?300,
所以AB?12AF,又AB?AD, 所以D是线段AF的中点,连接DM, [来源:Zxxk.Com]
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又由点M是线段AE的中点知DM//EF,
而DM?平面BEC, EF?平面BEC,故DM∥平面BEC. 【答案与解析】
(1) 证明:取A'B'中点P,连结MP,NP,而M,N分别是AB'与中点,所以,
MP∥AA',PN∥A'C',所以,MP∥平面A'ACC',PN∥平面又MP?NP?p,因此平面MPN∥平面A'ACC',而MN?平面以,MN∥平面A'ACC',
B'C'的A'ACC',
MPN,
所
【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中.第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明;第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键,也可以采用割补发来球体积.
【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算,考查空间想象能力、逻辑
推理能力,是简单题.
【解析】(Ⅰ)由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1?AC?C,∴BC?面ACC1A1, 又∵DC1?面ACC1A1,∴
DC1?BC,
090,即DC1?DC, 由题设知?A1DC1??ADC?45,∴?CDC1=
0又∵DC?BC?C, ∴DC1⊥面BDC, ∵DC1?面BDC1, ∴面BDC⊥面BDC1;
(Ⅱ)设棱锥B?DACC1的体积为V1,AC=1,由题意得,V1=?由三棱柱ABC?A1B1C1的体积V=1,
∴(V?V1):V1=1:1, ∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 法二:(I)证明:设AC?BC?a,则AA1?2a, 因侧棱垂直底面,即DA?平面ABC,所以DA?AC,
111?2?1?1=,
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