又D是棱AA1的中点,所以DA?1AA1?a 2在Rt?DAC中,由勾股定理得:DC?同理DC1?2a ;
2a,又C1C?A1A?2a,
2所以:DC2?DC1?C1C2, 即有C1D?CD??(1)
因A1A?平面ABC,所以A1A?BC,
又?ACB?900,所以 AC?BC,所以BC?侧面ACC1A1,而C1D?平面ACC1A1, 所以:BC?C1D??(2);由(1)和(2)得:C1D?平面BCD, 又C1D?平面 BC1D,所以平面BDC1?平面BDC
(II) 平面BDC1分此棱柱的下半部分可看作底面为直角梯形ACC1D,高为BC的一个四棱锥,其体积为:V下?VB?ACC1D?11?a?2a?1?SACC1D?BC????a??a?a3, 33?22?1?a?a?2a?a3, 213所以,平面BDC1分此棱柱的上半部的体积为V上?V-V下?a
2所以 ,所求两部分体积之比为 1:1
该四棱柱的总体积为V?S?ABC?A1A? 【解析】(1)由已知可得AE=3,BF=4,则折叠完后EG=3,GF=4,又因为EF=5,所以可得EG?GF
又因为CF?底面EGF,可得CF?EG,即EG?面CFG所以平面DEG⊥平面CFG. (2)过G作GO垂直于EF,GO 即为四棱锥G-EFCD的高,所以所求体积为S正方形DECF?GO? 【解析】(Ⅰ)因为PA?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA?BD.
13112?5?5??20 35又AC?BD,PA,AC是平面PAC内的两条相较直线,所以BD?平面PAC, 而PC?平面PAC,所以BD?PC.
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD?平面PAC,
?所以?DPO是直线PD和平面PAC所成的角,从而?DPO?30.
由BD?平面PAC,PO?平面PAC,知BD?PO.
?在RtPOD中,由?DPO?30,得PD=2OD.
?因为四边形ABCD为等腰梯形,AC?BD,所以从而梯形ABCD的高为
?AOD,?BOC均为等腰直角三角形,
111AD?BC??(4?2)?3,于是梯形ABCD面积 222 16
S?1?(4?2)?3?9. 2在等腰三角形AOD中,OD?2,AD?22, 2所以PD?2OD?42,PA?PD2?AD2?4.
11?S?PA??9?4?12. 33故四棱锥P?ABCD的体积为V?PADBEC
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD?平面PAC即可,第二问由(Ⅰ)知,BD?平面PAC,所以?DPO是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由V?1?S?PA算得体积. 3 【解析】(1)因为四棱柱ABCD?A2B2C2D2的侧面是全等的矩形,所以AA2?AB,AA2?AD
又因为AB?AD?A,所以AA2?平面ABCD 连接BD,因为BD?平面ABCD,所以AA2?BD
因为底面ABCD是正方形,所以AC?BD.根据棱台的定义可知,BD面.
又已知平面ABCD//平面A1B1C1D,1且平面BB1D1D?平面
与B1D1共
ABCD?B D平面BB1D1D?A1B1C1D1?B1D1,所以B1D1//BD,于是
由AA2?BD,AC?BD,B1D1//BD,可得AA2?B1D1,AC?B1D1 又因为AA2?AC?A,所以B1D1?平面ACC2A2.
(2)因为四棱柱ABCD?A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以
S1?SA2B2C2D2?S四个侧面?(A2B2)2?4AB?AA2?102?4?10?30?1300(cm2)
又因为四棱台A1B1C1D1?ABCD的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,所以
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1S2?SA1B1C1D1?S四个侧面梯形?(A1B1)2?4?(AB?A1B1)h等腰梯形的高211?202?4?(10?20)132?[(20?10)]2?1120(cm2)22
于是该实心零部件的表面积为S?S1?S2?1300?1120?2420(cm2),故所需加工处理费为
0.S2?0?.224?20(元)
【点评】本题考查线面垂直,空间几何体的表面积;考查空间想象,运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直?线
面垂直?面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法;四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成,只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行,面面平行特别是线面平行,以及体积等的考查.
解析:(Ⅰ)因为AB?平面PAD,PH?平面PAD,所以AB?PH.又因为PH为?PAD中AD边上的高,所以
PH?AD.AB?AD?A,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PH?平面ABCD.
112FC?AD??1?2?,因为E是PB的中点,PH?平面ABCD,所以点E到平面ABCD的距离22211121211??等于PH?,即三棱锥E?BCF的高h?,于是VE?BCF?S?BCF?h??. 3322122221所以GE?(Ⅲ)取PA中点G,连接GD、GE.因为E是PB的中点,AB且
21所以GE?DF且GE∥AB.而F是DC上的点且DF?AB,DF∥AB,
2GE∥DF.所以四边形GDFE是平行四边形,所以EF∥GD.而PD?AD,所以GD?PA.又因为AB?平面PAD,GD?平面PAD,所以AB?GD.而AB?PA?A,AB?平面PAB,PA?平面PAB,所以GD?平面PAB,即EF?平面PAB.
【考点定位】本题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系以及体积等基
本知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想.
(Ⅱ)S?BCF?【解析】(1)又长方体AD?平面CDDC11.点A到平面CDDC11的距离AD=1, ∴S?MCC1=
1111CC1?CD=×2×1=1 ,∴VA?MCC1?AD?S?MCC1?
2233(2)将侧面CDDC1逆时针转动90°展开,与侧面ADD11绕DD1A1共面.当A1,M,C共线时,
A1M+MC取得最小值AD=CD=1 ,AA1=2得M为DD1的中点连接MC1在?MCC1中,MC1=MC=2,CC1=2,
∴CC12=MC12+MC , ∴∠CMC1=90°,CM⊥MC1, ∵B1C1⊥平面CDDC1C1⊥CM ∵AM∩MC=C 11,∴B∴CM⊥平面B1C1M,同理可证B1M⊥AM ∴B1M⊥平面MAC
【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用.从题中的线面垂直以及边
2长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度,并加以证明和求解.
解:设AC?BD?O,以O为原点,OC为x轴,OD为y轴建立空间直角坐标系,则
A(?2,0,0),C(2,0,0),P(?2,0,2),设B(0,?a,0),D(0,a,0),E(x,y,z).
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????2222?????E(,0,)BE?(,a,)????2)33, 所以PC?(22,0,33,BD?(0,2a,0),所以(Ⅰ)证明:由PE?2EC得,????????22PC?BE?(22,0,?2)?(,a,)?033,
????????????????????????PC?BD?(22,0,?2)?(0,2a,0)?0.所以PC?BE,PC?BD,所以PC?平面BED;
???????????????????(Ⅱ) 设平面PAB的法向量为n?(x,y,z),又AP?(0,0,2),AB?(2,?a,0),由n?AP?0,n?AB?0得?2??????????n?(1,,0)a,设平面PBC的法向量为m?(x,y,z),又BC?(2,a,0),CP?(?22,0,2),由??2???????????????m?(1,?,2)?m?BC?0,m?CP?0,得a,由于二面角A?PB?C为90,所以m?n?0,解得a?2. ??????,2)所以PD?(2,2?,平面PBC的法向量为m?(1,?1,2),所以PD与平面PBC所成角的正弦值为
????????|PD?m|1???????????|PD|?|m|2,所以PD与平面PBC所成角为6.
【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题和相似,底面也是特殊的菱形,一个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点E的位置的选择是一般的三等分点,这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.
【考点定位】本题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决.第三问的创新式问法,难
度比较大.
解:(1)因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又因为DE?平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F ?平面A1DC, 所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE (3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图, 分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.
又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点,
所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.
【解析】(I)连接AC,AE//CC1?E,A,C,C1共面
长方体ABCD?A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形
AC?BD,EA?BD,AC?EA?A?BD?面EACC1?BD?EC1
(Ⅱ)在矩形ACC1A1中,OE?EC1??OAE??EAC11 得:
AEAC2AA1?2?11???AA1?32 AOEA1222 19