广东省汕尾市2015届高考数学调研试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}，则A∪B=（） A． {2} B． {1，2，3} C． {1，3} D．{2，3} 2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
3．（5分）已知{an}为等差数列，且a3+a8=8，则S10的值为（） A． 40 B． 45 C． 50
x
2
D．55
4．（5分）以下四个函数y=3，y=，y=x+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（） A． 4
B． 3
C． 2
D．1
5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线与直线y=x+1平行，则它的离心率为（） A．
6．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（） A． ﹣
B． 0
C． 3
D．
B．
C．
D．
7．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有如下四个命题： ①若α∥β，则l⊥m； ②若α⊥β，则l∥m； ③若l∥m，则α⊥β； ④若l⊥m，则α∥β．
其中正确的两个命题是（） A． ①与② B． ①与③ C． ②与④ D．③与④ 8．（5分）G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的a，b∈G，a0b=c，则c∈G，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集
2
合，如集合A={x|x=1}，A对于数的乘法作成一个封闭集合．以下四个结论： ①集合{0}对于加法作成一个封闭集合；
②集合B={x|x=2n，n为整数}，B对于数的减法作成一个封闭集合； ③集合C={x|0＜x≤1}，C对于数的乘法作成一个封闭集合；
④令是全体大于零的实数所成的集合，R对于数的乘法作成一个封闭集合； 其中，正确结论的个数是（） A． 4 B． 3 C． 2 D．1
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）（一）（必做题）：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答 9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45，△ABC的面积S=2，则c边长为，b边长为． 10．（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32”的值，则判断框内可以填入．
o
ΦΦ
11．（5分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．
12．（5分）不等式|x﹣4|+|x+3|≥a恒成立，则实数a的取值范围是．
13．（5分）直线y=4x与曲线y=x在第一象限内围成的封闭图形的面积为．
14．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为θ=
，则圆心到直线
3
l的距离等于．
15．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于．
三、解答题（共6小题，满分80分） 16．（12分）已知函数f（x）=sin（x+（1）求f（﹣
）的值；
），求f（2θ﹣
）． ）．
（2）若cosθ=，θ∈（0，
17．（12分）某工厂招聘工人，在一次大型的招聘中，其中1000人的笔试成绩的频率分布直方图如图所示，按厂方规定85分以上（含85分）可以直接录用． （1）下表是这次笔试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值； 区间 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100） 人数 50 a 350 300 b
（2）现在用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的笔试成绩进行分析，求可以直接录用的人数；
（3）在（2）中抽取的40名招聘的人中，随机选取2名参加面试，记“可以直接录用的人数”为X，求X的分布列与数学期望．
18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C； （Ⅱ）求证：AB1∥平面A1DC；
（Ⅲ）求二面角D﹣A1C﹣A的余弦值．
19．（14分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足4Sn=a（1）求a1的值；
（2）求{an}的通项公式； （3）求证：
20．（14分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）过点（1，
），F1，F2分别为椭圆的左、右焦
+
+…+
＜2，n∈N．
Φ
+2an．
点，且F1、F2距离为2． （1）求椭圆的标准方程． （2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P1，P2两点（P1在P2的左侧），P1F1和P2F2都是圆的切线，且P1F1⊥P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．
21．（14分）已知函数f（x）=（x+bx+b）e的极值点为x=﹣和x=1． （1）当b=1时，求函数f（x）的增区间；
（2）当0＜b≤2时，求函数f（x）在[﹣2b，b]上的最大值．
2
x
广东省汕尾市2015届高考数学调研试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}，则A∪B=（） A． {2} B． {1，2，3} C． {1，3} D．{2，3}
考点： 并集及其运算． 专题： 集合．
分析： 利用并集的性质求解．
解答： 解：∵集合A={1，2}，B={x|（x﹣2）（x﹣3）=0}={2，3}， ∴A∪B={1，2，3}． 故选：B．
点评： 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题． 2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 计算题．
分析： 根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案． 解答： 解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i ∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0
∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限 故选A
点评： 本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．
3．（5分）已知{an}为等差数列，且a3+a8=8，则S10的值为（） A． 40 B． 45 C． 50
考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
D．55
分析： 由等差数列的性质可得a1+a10=8，由求和公式可得S10=可得．
解答： 解：由等差数列的性质可得a1+a10=a3+a8=8， ∴S10=
=
=40
，代值计算
故选：A
点评： 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
4．（5分）以下四个函数y=3，y=，y=x+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（） A． 4 B． 3 C． 2
考点： 函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数奇偶性的定义即可得到结论．
x2
D．1
解答： 解：四个函数中，只有y=，y=2sinx是奇函数， 故选：C
点评： 本题主要考查函数奇偶性的判断，比较基础．
5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线与直线y=x+1平行，则它的离心率为（）