（1）求椭圆的标准方程．
（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P1，P2两点（P1在P2的左侧），P1F1和P2F2都是圆的切线，且P1F1⊥P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （1）由已知得，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆由圆和椭圆的对称性，知
相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，
2
，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，从而得到﹣（x1+1）+
=
．
=0，由
此能求出存在满足条件的圆，其方程为：
解答： 解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），
F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2，
∴，解得，
∴椭圆的标准方程为．
相交，
（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆
P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，
F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2， 由圆和椭圆的对称性，知
，y1=y2，
|P1P2|=2|x1|，
由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）， 所以
=（x1+1，y1），
2
=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥
，
得﹣（x1+1）+
=0，
由椭圆方程得1﹣
=（x1+1），即
2
=0，
解得
或x1=0．
当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在． 当
时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，
设C（0，y0），由CP1⊥F1P1，得而y1=|x1+1|=，故圆C的半径|CP1|=
综上，存在满足条件的圆，其方程为：
，
=
．
，
=．
点评： 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
21．（14分）已知函数f（x）=（x+bx+b）e的极值点为x=﹣和x=1．
（1）当b=1时，求函数f（x）的增区间；
（2）当0＜b≤2时，求函数f（x）在[﹣2b，b]上的最大值．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）把b=1代入函数解析式，求出其导函数，由导函数的符号判断原函数的单调性； （2）求出函数f（x）的导函数，得到其零点，然后讨论零点与所给区间端点值的大小关系得到函数在所给区间上的单调性，并求得最值．
2x
解答： 解：（1）当b=1时，f（x）=（x+x+1）e，
2x
∴f′（x）=（x+3x+2）?e，
由f′（x）＞0，得x＞﹣1或x＜﹣2． 故函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2），（﹣1，+∞）；
2x
（2）∵f（x）=（x+bx+b）e，
2xx
∴f′（x）=[x+（2+b）x+2b]e=（x+2）（x+b）e． 由f′（x）=0，得x=﹣2或x=﹣b．
2x
当﹣2≤﹣2b，即0＜b≤1时，函数f（x）在（﹣2b，﹣b）上单调递减，在（﹣b，b）上单调递增．
∴M=max{f（﹣2b），f（b）}， ∵f（﹣2b）=（2b+b）?e，
2b
f（b）=（2b+b）?e． ∴M=f（b）．
当﹣2b＜﹣2＜﹣b，即1＜b＜2时，函数f（x）在（﹣2b，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣b）上单调递减，在（﹣b，b）上单调递增． ∴M=max{f（﹣2），f（b）}， ∵f（﹣2）=（4﹣b）?e， 且（2b+b）﹣（4﹣b）=
2
﹣2
2﹣2b
=0，
∴M=f（b）．
当﹣2=﹣b，即b=2时，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣2b，b）上单调递增， ∴M=f（b）．
2b
综上所述：M=f（b）=（2b+b）e．
点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法及数学在转化思想方法，是压轴题．