考点： 直角三角形的射影定理． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求． 解答： 解：AB为圆的直径， ∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中由射影定理可知CD=BD×AD， ∴16=8×AD， ∴AD=2， ∴半径=
=5
2
故答案为：5
点评： 本题主要考查了直角三角形中射影定理的应用．应熟练掌握射影定理中的公式及变形公式．
三、解答题（共6小题，满分80分） 16．（12分）已知函数f（x）=sin（x+（1）求f（﹣
）的值；
），求f（2θ﹣
）． ）．
（2）若cosθ=，θ∈（0，
考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 三角函数的求值．
分析： （1）把x=﹣代入函数解析式即可．
）的表达式并利用两角和公式整理，根据cosθ的值，求
）的解析式．
（2）根据函数解析式求得f（2θ﹣
得sinθ的值，进而根据二倍角公式分别求得sin2θ和cos2θ的值，代入f（2θ﹣解答： 解：（1）f（﹣（2）f（2θ﹣
）=sin（﹣
+
+
）=sin（﹣
）=
）=﹣．
（sin2θ﹣cos2θ），
）=sin（2θ﹣）=sin（2θ﹣
因为cosθ=，θ∈（0，），所以sinθ=，
所以sin2θ=2sinθcosθ=所以f（2θ﹣
）=
，cos2θ=cosθ﹣sinθ=（sin2θ﹣cos2θ）=（
﹣
22
， ）×
=
．
点评： 本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的应用．考查了学生对基础知识的灵活运用． 17．（12分）某工厂招聘工人，在一次大型的招聘中，其中1000人的笔试成绩的频率分布直方图如图所示，按厂方规定85分以上（含85分）可以直接录用． （1）下表是这次笔试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值； 区间 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100） 人数 50 a 350 300 b
（2）现在用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的笔试成绩进行分析，求可以直接录用的人数；
（3）在（2）中抽取的40名招聘的人中，随机选取2名参加面试，记“可以直接录用的人数”为X，求X的分布列与数学期望．
考点： 频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计．
分析： （1）根据频率、频数与样本容量的关系，求出a、b的值； （2）求出85分以上（含85分）的频数即可；
（3）求出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，求出数学期望EX． 解答： 解：（1）根据题意，a=0.04×5×1000=200， b=0.02×5×1000=100；
（2）设可以直接录用的人数为，则=，
解得x=30，
即可以直接录用的人数为30名；
（3）根据题意，X的取值为0，1，2； ∴P（X=0）=
=
，
P（X=1）==，
P（X=2）==；
∴随机变量X的分布列为： X 0 P ∴EX=0×
+1×
+2×
=，
1
2
即X的数学期望为．
点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机事件的分布列与数学期望的问题，是基础题．
18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C； （Ⅱ）求证：AB1∥平面A1DC；
（Ⅲ）求二面角D﹣A1C﹣A的余弦值．
考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题： 综合题．
分析： （I）由已知中侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，由正方形的几何特征结合线面垂直的判定，易得AA1⊥平面ABC，即三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，再由点D是棱B1C1的中点，结合等腰三角形“三线合一”，及直三棱柱的几何特征，结合线面垂直的判定定理，即
可得到A1D⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）连接AC1，交A1C于点O，连接OD，由正方形的几何特征及三角形中位线的性质，可得OD∥AB1，进而结合线面平行的判定定理，我们易得，AB1∥平面A1DC；
（Ⅲ）因为AB，AC，AA1两两互相垂直，故可以以A坐标原点，建立空间坐标系，求出几何体中各顶点的坐标，进而求出平面DA1C与平面A1CA的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
解答： （Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，
所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，
所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱． 因为A1D?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D 又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点， 所以A1D⊥B1C1． 因为CC1∩B1C1=C1，
所以A1D⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）证明：连接AC1，交A1C于点O，连接OD，
因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点，又D为B1C1中点， 所以OD为△AB1C1中位线，所以AB1∥OD， 因为OD?平面A1DC，AB1?平面A1DC， 所以AB1∥平面A1DC．
（Ⅲ）解：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°， 所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A﹣xyz． 设AB=1，则
.
，（9分）
设平面A1DC的法向量为n=（x，y，z），则有取x=1，得n=（1，﹣1，﹣1）．
又因为AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为
，，x=﹣y=﹣z，
，
，
因为二面角D﹣A1C﹣A是钝角， 所以，二面角D﹣A1C﹣A的余弦值为
．
点评： 本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握线面关系的判定、性质、定义及几何特征是解答线面关系判定的关键，而利用向量法求二面角的关键是建立适当的坐标系．
19．（14分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足4Sn=a（1）求a1的值；
（2）求{an}的通项公式； （3）求证：
+
+…+
＜2，n∈N．
Φ
+2an．
考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）4Sn=a+2an．令n=1，可得+2a1，解出即可．
（2）当n≥2时，4an=4Sn﹣4Sn﹣1，化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，可得an﹣an﹣1=2，利用等差数列的通项公式即可得出． （3）当n=1时，即可得出．
解答： （1）解：∵4Sn=a
+2an．令n=1，可得
﹣
+2a1，a1＞0，解得a1=2．
，
=1＜2成立．当n≥2时，
=
．利用“裂项求和”
（2）解：当n≥2时，4an=4Sn﹣4Sn﹣1=化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0， ∵an＞0，an﹣1＞0， ∴an﹣an﹣1=2，
∴数列{an}是等差数列， ∴an=2+2（n﹣1）=2n． （3）证明：当n=1时，
=1＜2成立．
当n≥2时，=．
∴++…+=+…+＜
1+++…+=2＜2．
点评： 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（14分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）过点（1，
），F1，F2分别为椭圆的左、右焦
点，且F1、F2距离为2．