15．若等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=2 ．
【考点】数列的求和．
【分析】等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=2
，则++…+= 1﹣，可得=2，解得
a1．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：∵等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=2解得a1=∴an=
．
=
．∴
=
．
，∴
=2
，
则++…+=3×==1﹣．
故答案为：1﹣
．
16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p= 1或4 ． 【考点】圆与圆锥曲线的综合． 【分析】由题意，可得A（
，
），AB⊥BF，所以（，﹣1）?（
，
﹣1）=0，即可求出p的值．
【解答】解：由题意，可得A（∴（，﹣1）?（∴
﹣
，+1=0，
，﹣1）=0，
），AB⊥BF，
∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4． 故答案为1或4．
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三、解答题（共5小题，满分60分）
17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣（A+
）=
．
）﹣cos
（1）求角A的大小； （2）若a=
，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）利用诱导公式和两角和与差公式化简即可求解角A的大小． （2）利用二倍角公式化简sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，利用正余弦定理即可求解b，c的大小．即可求解△ABC的面积． sin【解答】解：（1）（A﹣=sin（A﹣=
）﹣cos（A+
）﹣cos（A+） sinA=
=sin）（A﹣）﹣cos（2π﹣A）
sinA﹣cosA﹣cosA﹣
，
即cosA=
∵0＜A＜π， ∴A=
．
（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C， 由正弦定理，得b2=2c2，即cosA=
=
．a=，
，
解得：c=1，b=
∴△ABC的面积S=bcsinA=．
18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表： 甲图书馆 借（还）书等待时间T1第17页（共26页）
1 2 3 4 5 （分钟） 频数 乙图书馆 借（还）书等待时间T2（分钟） 频数 1000 500 2000 1250 250 1 2 3 4 5 1500 1000 500 500 1500 以表中等待时间的学生人数的频率为概率．
（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；
（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）根据已知可得T1，T2的分布列及其数学期望．
（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．设T21，T22分别表示在乙图书馆借、还书所需等待时间，设事件B为“在乙图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T21+T22≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出． 【解答】解：（1）根据已知可得T1的分布列： T1（分钟） 1 P 0.3 2 0.2 3 0.1 4 0.1 5 0.3 T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．
T2（分钟） 1 P 0.2 2 0.1 3 0.4 4 0.25 5 0.05 T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．
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（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．
∴P（A）=0.3×0.3+0.3×0.2+0.3×0.1+0.2×0.3+0.2×0.2+0.1×0.3=0.31． 设T21，T22分别表示在乙图书馆借、还书所需等待时间，设事件B为“在乙图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T21+T22≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．
∴P（B）=0.2×0.2+0.2×0.1+0.2×0.4+0.1×0.2+0.1×0.1+0.4×0.2=0.25． ∴P（A）＞P（B）．∴在甲图书馆借、还书更能满足他的要求．
19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．
（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由； （2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】（1）证明DE∥AC，即可判断直线DE与平面ABC的位置关系；
BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小，（2）利用余弦定理，即可求解．
【解答】解：（1）DE∥平面ABC． ∵VC?平面VBC，DE⊥平面VBC， ∴DE⊥VC，
∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC， ∵DE⊥VC，VC⊥AC，∴DE∥AC， ∵DE?平面ABC，AC?平面ABC， ∴DE∥平面ABC；
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（2）∵DE⊥平面VBC，∴DE⊥BE，DE⊥VB， ∵D，F分别为VA，AB的中点， ∴DF∥VB，∴DE⊥DF，
∴BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小． ∵VC=2BC，∴VE=BC，VB=∴cos∠VBE=
BC，∴BE==
， ．
BC，
∴二面角B﹣DE﹣F的余弦值为
20．已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足分别交椭圆于A，B．
（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标； （ii）求△OAB面积的最大值．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）（i）设直线AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用直线的点斜式方程，求得M和N点坐标，由
=
，利用韦达定理，化简当t=﹣2时，对任意的k
=
，直线PM、PN
都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）；
（ii）S△OAB=丨S△OQA﹣S△OQB丨=丨x1﹣x2丨，由韦达定理，弦长公式，利用二次函数的性质，即可求得△OAB面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e==
=
，则a2=4b2，
将P（2，1）代入椭圆，则
，解得：b2=2，则a2=8，
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