∴椭圆的方程为：；
（Ⅱ）（i）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，
当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x1，y1）、B（x2，y2）， 由
，（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，
则△=16（8k2﹣t2+2）＞0， x1+x2=﹣
，x1x2=
，
又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），
即y﹣1=（x﹣2），
因此M点坐标为（0，），同理可知：N（0，），
由=，则+=0，
化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0， 则（2﹣4k）×
﹣（2﹣4k+2t）（﹣
）+8t=0，
化简整理得：（2t+4）k+（t2+t﹣2）=0，
当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）；
（ii）由（i）可知：S△OAB=丨S△OQA﹣S△OQB丨=丨丨OQ丨?丨x1丨﹣丨OQ丨?丨x2丨丨，
=×2×丨x1﹣x2丨=丨x1﹣x2丨=
，
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=4，
令4k2+1=u，则S△OAB=4=4
≤2，
，
即当=，u=4，即k=±∴△OAB面积的最大值2．
时，等号成立，
21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程； （Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）当a=1时，
f（x）的图象在x=1处的切线方程． （Ⅱ）由不等式f（x）≤1，得2a≥则φ′（x）=
恒成立，令φ（x）=
（x＞0），
﹣2，由此利用导数的几何意义能求出函数
，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．
，得
，
，令h（x）=
，利用构造法推导出h′
（Ⅲ）由g（x）=f（x）+x2=分类讨论求出a=﹣
，由x0f（x0）+1+ax02=﹣，x∈（0，1），则
（x）＜0，由此能证明x0f（x0）+1+ax02＞0． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣2x，则∴f（1）=﹣2，f′（1）=﹣1，
∴函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0．
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﹣2，x＞0，
（Ⅱ）不等式f（x）≤1，即lnx﹣2ax≤1，∴2ax≥lnx﹣1， ∵x＞0，∴2a≥令φ（x）=
恒成立， （x＞0），则φ′（x）=
，
当0＜x＜e2时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，当x＞e2时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
∴当x=e2时，φ（x）取得极大值，也为最大值，故φ（x）max=φ（e2）=由2a≥
，得a≥
，∴实数a的取值范围是[
，得
，+∞）．
，
，
=f（Ⅲ）证明：由g（x）（x）+x2=
①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意；
②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x0和x′， ∵x0为函数g（x）的极大值点，∴0＜x0＜x′， 由
=1，
，知a＞1，0＜x0＜1， =0，得a=
，
又由g′（x0）=
∵
令h（x）=﹣令当
=﹣
，x∈（0，1），则，x∈（0，1），则
时，μ′（x）＞0，当
）=ln
时，μ′（x）＜0，
，0＜x0＜1，
， ，
∴μ（x）max=μ（＜0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）=0， ∴x0f（x0）+1+ax02＞0．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
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22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E
的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（1）由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．
（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为（2，能求出点P的极坐标．
【解答】解：（1）∵双曲线E的参数方程为
（θ为参数），
），由此．从
∴，，
∴==1，
．
，其过原点，倾斜角为
，
∴双曲线E的普通方程为
∴直线l在直角坐标系中的方程为y=∴l的极坐标方程为
．
（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O）， ∵AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径， 由（Ⅰ）知，|OF|=2，
又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，
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∴∠AFO=，|AF|=4，
），
于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为（2，∴圆C的极坐标方程为此时，点P的极坐标为（4cos（
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．
， ），
），即（2，）．
（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；
（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（1）当a=﹣2时，分类讨论，即可求不等式f（x）≤2x+1的解集； （2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）≤2x+1为|x﹣2|﹣2x+3≤0． x≥2时，不等式化为x﹣2﹣2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2； x＜2时，不等式化为﹣x+2﹣2x+3≤0，即x≥，∴≤x≤2， 综上所述，不等式的解集为{x|x≥}；
（2）x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，即|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立， ∵|a+a|﹣|x+1|≤|a﹣1|， ∴|a﹣1|≤2a，∴
．
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2017年4月3日
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