力所作的功，其中rp和rq是以力心为坐标原点时物体的位置矢量。
解 根据题意，画出物体在有心力场中运动的示意图，即图2-5，物体在运动过程中的任意点c处，在有心力f的作用下作位移元dl，力所作的元功为
,
所以，在物体从点p (位置矢量为rp)到达点q (位置矢量为rq)的过程中，f所作的总功为
.
2-6 马拉着质量为100 kg的雪撬以2.0 ?1
m?s的匀速率上山，山的坡度为0.05(即每100 m升高5 m)，雪撬与雪地之间的摩擦系数为0.10。求马拉雪撬的功率。 解 设山坡的倾角为?，则
.
可列出下面的方程式
, , .
式中m、f、f和n分别是雪橇的质量、马的拉力、地面对雪橇的摩擦力和地面对雪橇的支撑力。从以上方程式可解得
, ,
.
于是可以求得马拉雪橇的功率为
.
2-7 机车的功率为2.0?10w，在满功率运行的情况下，在100 s内将列车由静止加
?1
速到20 m?s。若忽略摩擦力，试求： (1)列车的质量；
(2)列车的速率与时间的关系；
6
(3)机车的拉力与时间的关系； (4)列车所经过的路程。 解
(1)将牛顿第二定律写为下面的形式
, (1)
用速度v点乘上式两边，得
.
式中fv = p，是机车的功率，为一定值。对上式积分
,
即可得
,
将已知数据代入上式，可求得列车的质量，为
.
(2)利用上面所得到的方程式
,
就可以求得速度与时间的关系，为
. (2)
(3)由式(2)得
,
将上式代入式(1)，得
,
由上式可以得到机车的拉力与时间的关系
.
(4)列车在这100秒内作复杂运动，因为加速度也在随时间变化。列车所经过的路程可以用第一章的位移公式(1-11)
来求解。对于直线运动，上式可化为标
量式，故有
.
2-8 质量为m的固体球在空气中运动将受到空气对它的黏性阻力f的作用，黏性阻力的大小与球相对于空气的运动速率成正比，黏性阻力的方向与球的运动方向相反，即可表示为f = ?? v，其中?是常量。已知球被约束在水平方向上，在空气的黏性阻力作用下作减速运动，初始时刻t0 ，球的速度为v0 ，试求：
(1) t时刻球的运动速度v；
(2)在从t0 到t的时间内，黏性阻力所作的功a。 解
(1)根据已知条件，可以作下面的运算
,
式中