第二章 整式和分式 （甲） 内容要点；
一、代数式有关概念及其分类
1、代数式：由运算符号（加，减，乘除，乘方，开方），把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式，单独的一个数或者一个字母也是代数式。
2、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值。 3、代数式系统表
???单项式整式????有理数??多项式代数式? ???分式?无理数?一、整式及其运算
1、整式：整式包括单项式和多项式；由数和字母相乘形成的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式。
2、整式的运算；整式能进行加，减，乘的运算，整式加，减，乘的结果仍是整式，整式可以进行带余除法的运算，整式的运算符合交换律，结合律，分配律。
（1）加减法：就是合并同类项。
（2）乘法：幂的运算性质是乘法，除法的基础， 幂的运算法则
am?an?am?n ； am?an?am?n(a?0)； (am)n?amn ； (ab)n?an?bn；
乘法公式
(a?b)2?a2?2ab?b2
(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3 (a?b)(a?b)?a2?b2 (a?b)(a2ab?b2)?a3?b3
（3） 除法：
多项式F（x）除以多项式f(x)商式为g(x),余式为r(x) 则有F(x)?f(x)g(x)?r(x), 当r(x)?0时F(x)?f(x)g(x)成立 此时则称整式F (x)能被整式f(x)整除。
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整式F(x)除以x-a的余式为r(x),则F(x)?(x?a)?g(x)?r(x) 故r(a)?F(a)成立
三、多项式的因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，常用的方法有 1、 提取公因式法，例如：ax?ay?a(x?y)等 2、 公式法，（乘法公式从右到左，即为因式分解公式）。
例如：9x?6x?1?(3x?1), 4a?25b?(4a?5b)(4a?5b)等 3、 求根法
nn?1若方程a0x?a1x?....?an?0有n个根x1,x2,....,xn
2222nn?1则多项式a0x?a1x?...?an?a0(x?x1)(x?x2)...(x?xn)
4、 二次三项式的十字相乘法，例如x?3x?2?(x?1)(x?2) 5、 分组分解法 例如：
2ax?3by?3ay?bx?(ax?bx)?(3ay?3by)..........分两组?x(a?b)?3y(a?b)...............提公因式?(a?b)(x?3y).......................提公因式6、待定系数法
例如：将2x?5xy?12y?10x?37y?28因式分解 分析：这个多项式的二次2x?5xy?12y可分解为
2222
2x2?5xy?12y2?(2x?3y)(x?4y)
所以可设 原式?(2x?3y?m)(x?4y?n)其中m,n为待定常数，然后利用恒等式的性质，解方程 可求出m=-4 , n=7 所以原式?(2x?3y?4)(x?4y?7)
四 分式及其运算 1、分式：形如为零，例如
A的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，B的值不能Bx?2是分式。 2x?32、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简化分式 3、分式的基本性质：
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AA?MAA?M ；?（M为不等于零整式） ?BB?MBB?M4、分式的运算
（1）加减法，同分母的几个分式相加减，分母不变，分子相加减，注意最后结果要约分化为最简分式，不同分母的的分式相加减，先通分化为同分母后，再进行加减运算。
（2）乘除法
acac??bdbd ，
acadad ????bdbcbc分式的加法与乘法运算满足交换律，结合律和分配律。
（乙）典型例题 一、整式及其运算
1、求F(x)?x?2x?3x?5，除以g(x)?x?x?2的商式和余式 解：用竖式做除法
x?3x?x?22322x3?2x2?3x?5x3?x2?2x 2 3x?x?5３x2?3x?6 2x?1
得商式g(x)?x?3,余式r(x)?2x?1
2、如果x+1 整除x?mx?3mx?3，则m= ( ) （A） -1或-2 （B）-1或2 （C） 1或-2
（D） 1或2 （E）-2或2
解，由己知 x?mx?3mx?3?g(x)(x?1)
方程两边取x=-1,则m?3m?2?0解得m?1或m?2答案选D 3、若x?2x?a被x?3除，余式为-5，则a = ( ) （A）-9 （B）-8 （C）7 （D）8 （E）9 解；由已知x?2x?a?g(x)(x?3)?(?5) 令x=-3, 则得9-6+a=-5得a=-8答案选B
4、多项式3x?x?9x?3x?2， 的因式分解为(3x?1)g(x),则g(x)等于（ ）
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432232232222
（A）(x?2)(x?1) （B）(x?2)(x?1)（C）(2x?1)(x?2) （D）(2x?1)(x?2)（E）(2x?1)(x?2) 解：
22222f(x)?3x4?x3?9x2?3x?2，用竖式除法计算
3f(x) 3x?1可得g(x)?x?3x?2，当x?2时g(2)?8?6?2?0即B和D均不等于g(x)， 当x??2时g(?2)?(?2)?3(?2)?2?0即x?2/g(x) 从而可得g(x)?(x?2)(x?2x?1)?(x?2)(x?1)故答案选A
5、在实数范围内将下列多项式分解因式 （1）12xy?36xy?27y （2）6x?x?15
（3）16ax?16bx?9a?9b （4）x?x?5x?3
解（1）原式?3y(4x?12xy?9y)?3y(2x?3y) (2)十字相乘法
?32222322232222２ ?３２?３＝６??３?５ ３（?-５） ?9?10?3?3?2?(?5)??1?2
所以 6x?x?15?(2x?3)(3x?5) （3）16ax?16bx?9a?9b =16x(a?b)?9(a?b)
=(a?b)(16x?9)?(a?b)(4x?3)(4x?3) （4）x?x?5x?3
=(x?3x)?(2x?6x)?x?3?x(x?3)?2x(x?3)?(x?3) =(x?3)(x?2x?1)?(x?3)(x?1)
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223222222232
6、无论x,y取何值，x?y?4x?6y?15的值都是（ ） （A）正数（B）负数（C）零（D）非负数（E）非正数
解；原式?x?4x?4?y?6y?9?2?(x?2)?(y?3)?2 从而无论x,y取何值，都有(x?2)(y?3)?2?0，答案是A 7、（充分性判断）
222222222x2?5xy?2y2?3x?2?(2x?y?m)(x?2y?n)
（1）m??1,n?2 （2）m?1,n??2 解：由条件（1）
m??1,n?2 代入题干右端
(2x?y?1)(x?2y?2)?2x2?5xy?2y2?3x?2 条件（1）不充分
由条件（2）m?1,n??2代入题干右端
(2x?y?1)(x?2y?2)?2x2?5xy?2y2?3x?2 条件（2）充分
所以答案选B 8、（充分性判断）x-3是多项式
f(x)?x3?x2?ax?b的因式
（1）a?4,b??6 （2）a?5,b??3 解：若x-3是f(x)的因式，即f(x)?(x?3)g(x) 因此，f(3)?3?3?3a?b?0即必有18?3a?b?0 验证条件（1）与（2）都充分，答案选D
9（充分性判断）M?N?4abc
（1）M?a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c) （2）N?(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)
解：条件（1）和（2）单独显然都不充分，下面将（1）和（2）联合起来考虑
因为M和N都是关于a,b,c的三次齐次式，所以M+N也必为关于a,b,c的三次齐次式，当a?0,时M+N=0
当b?0时M+N=0；当c?0时 M+N=0故a,b,c都是
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