第1章 绪论 习题解答
1-1
解：每个消息的平均信息量为
111111H(x)??log2?2?log2?log2448822
=1.75bit/符号
1-2
解：（1）两粒骰子向上面的小圆点数之和为3时有（1，2）和（2，1）两种可能，总的组合
11C?C?36，则圆点数之和为3出现的概率为 66数为
故包含的信息量为
p3?21?3618
1?4.17(bit)18
（2）小圆点数之和为7的情况有（1，6）（6，1）（2，5）（5，2）（3，4）（4，3），则圆点数之和为7出现的概率为
故包含的信息量为
I(3)??log2p3??log2p7?61?366
1?2.585(bit)6
1-3 解：（1）每个字母的持续时间为2?10ms，所以字母传输速率为
不同字母等可能出现时，每个字母的平均信息量为 H(x)?log24?2 bit/符号 平均信息速率为
Rb?RB4H(x)?100 bit/s （2）每个字母的平均信息量为
I(7)??log2p7??log2RB4?1?50Baud2?10?10?3
11111133H(x)??log2?log2?log2?log25544441010
=1.985 bit/符号
所以平均信息速率为
Rb?RB4H(x)?99.25 (bit/s) 1-4 解：（1）根据题意，可得：
3?1.4158 比特 1I(1)??logP(1)??log2?24 比特
I(0)??logP(0)??log21?24 比特 1I(3)??logP(3)??log2?38 比特
I(2)??logP(2)??log2（2）法一：因为离散信源是无记忆的，所以其发出的消息序列中各符号是无依赖的、统计
独立的。因此，此消息的信息量就等于消息中各个符号的信息量之和。此消息中共有14个“0”符号，13个“1”符号，12个“2”符号，6个“3”符号，则该消息的信息量是： I?14I(0)?13I(1)?12I(2)?6I(3) ?14?1.415?13?2?12?2?6?3
?87.81 比特
此消息中共含45个信源符号，这45个信源符号携带有87.81比特信息量，则此消息中平均每个符号携带的信息量为
I2?87.81/45?1.95 比特/符号
法二：若用熵的概念计算，有
说明：以上两种结果略有差别的原因在于，它们平均处理方法不同，前一种按算术平均的方法进行计算，后一种是按熵的概念进行计算，结果可能存在误差。这种误差将随消息中符号数的增加而减少。 1-5
331111H(x)??log2?2?log2?log2?1.906(bit/符号)884488
1133H(x)??log2?log2?0.8114444解：（1）bit/符号
（2）某一特定序列（例如：m个0和100-m个1）出现的概率为
P?XL??P?X1,X2,,X100????P?0?????P?1???m100-m?1??3???????4??4?m100-m所以，信息量为
m100-m??13??????LI?X1,X2,,X100???logP?X???log??????44?????????200?(100?m)log23?bit?
（3）序列的熵
1-6
解：若系统传送二进制码元的速率为1200Baud，则系统的信息速率为： Rb?1200?log22?1200 bit/s
若系统传送十六进制码元的速率为2400Baud，则系统的信息速率为： Rb?2400?log216?9600 bit/s 1-7
解：该恒参信道的传输函数为
?j?tdj?(?)H(?)?H(?)e?Ke0
tdt )0?(? 冲激响应为 h(t)?K??XL??100??X??81bit/序列?)0Ks?(dt t) 输出信号为 y(t)?s(t)*h(t 讨论：该恒参信道满足无失真传输的条件，所以信号在传输过程中无畸变。 1-8
解：该恒参信道的传输函数为
?Ae?j?td?ejbsin?T0 ?j?td ?A(1?jbsin?T0)e
jb?A[1?(ej?T0?e?j?T0)]e?j?td2j
Ab?j?(td?T0)Ab?j?(td?T0)?Ae?j?td?e?e22
AbAbh(t)?A?(t?td)??(t?td?T0)??(t?td?T0)22 冲激响应为
输出信号为 y(t)?s(t)*h( t) H(?)?Ae 1-9
?j(?td?bsin?T0)?As(t?td)?AbAbs(t?td?T0)?s(t?td?T0)22
解：假设该随参信道的两条路径对信号的增益强度相同，均为V0。则该信道的幅频特性为：
H(?0)?2V0cos??2
??(2n?1)?,n?0,1,2,时，H(?0)? 当出现传输零点； ??2n?,n?0,1,2,时，H(?0)? 当出现传输极点；
所以在
11f?n??nkHz(n为整数)时，对传输信号最有利；
111f?(n?)?(n?)2?2kHz(n为整数)时，对传输信号衰耗最大。 在
1-10
解：(1) 因为S/N =30dB,即10
得：S/N=1000
由香农公式得信道容量
log10S?30dBN，
（2）因为最大信息传输速率为4800b/s，即信道容量为4800b/s。由香农公式
S)N ?l2og?(11 000) ?3400931b0it s/ ?33.8?C?Blog2(1?C?Blog2(1?S)N
4800CS?2B?1?23400?1?2.66?1?1.66得：N。
则所需最小信噪比为1.66。
第2章 信号与噪声分析
习题解答
2-1 解：
p(x?2)?1?p(x?2)数学期望：
E(x)??????xp(x)dx???????1x2xdx??02a4a?a
aaax2x3a222E(x)??xp(x)dx??dx?????a2a6a3 ?a因为
a2a2D(x)?E(x)?[E(x)]??0?33 所以方差：
222-2
xx?0解：由题意随机变量x服从均值为0，方差为4，所以2，即2服从标准正态分布，可
?(x)?通过查标准正态分布函数
12??x??edt数值表来求解。
?t22x?02?0?)?1??(1)22 （1）
?1?0.8413?0.1587
x?04?0p(x?4)?1?p(x?4)?1?p(?)?1??(2)22 （2）
?1?0.9772?0.0228
x?1.5 （3）当均值变为1.5时，则2服从标准正态分布，所以
x?1.52?1.5p(x?2)?1?p(x?2)?1?p(?)?1??(0.25)22
?1?0.5987?0.4013
x?1.54?1.5p(x?4)?1?p(x?4)?1?p(?)?1??(1.25)22
?1?0.8944?0.1056
p(x?2)?1?p(x?2)?1?p(2-3
解：（1）因为随机变量?服从均匀分布，且有0???2?，则?的概率密度函数
所以有 E[z(t)]?E[m(t)cos(?0t??)] ?E[m(t)]?E[cos(?0t??)]
1?E[m(t)]??cos(?0t??)?d?02?
?0
??)?E[m(t)c?o0s(?t??)m?t?( Rz(t,t2?f(?)?12?，
)?st(??0co?0??
)] ?E[m(t)m(t??)]?E[cos(?0t??)cos(?0t??0???)]
11?Rm(?)?E[cos(2?0t??0??2?)?cos?0?]22 1?Rm(?)?cos?0?2
?cos?0??2(1??),?1???0??cos?0???(1??),0???1?2?0,其他?? ? ?Rz(?)
由此可见，z(t)的数学期望与时间无关，而其相关函数Rz(t,t??)仅与?相关，因此z(t)是广义平稳的。
（2）自相关函数Rz(?)的波形如图2-6所示。
图2-6
（3）根据三角函数的傅氏变换对
?t?0?1?t,?1???tri(t)??1?t,?0t??1Sa2()2???0,其他t
可得平稳随机过程z(t)的功率谱密度
?Pz(?)??????Rx(?)e?j??d?
1cos?0??tri(?)e?j??d?? 2?? ???0???01?[Sa2()?Sa2()]22 4 cos?0?1S?Rx(0)?(?1???)0?|22