第五章 相似矩阵及二次型
一 基本要求
1． 熟悉方阵的特征值和特征向量的概念，掌握相似矩阵的定义以及二次型的矩阵表示． 2． 了解特征值和特征向量的相关性质和求法、相似矩阵的性质和判别方法以及二次型化标准形的方法和正定二次型的判定定理．
3． 重点掌握方阵的特征值和特征向量计算、求实对称矩阵的正交相似矩阵和用正交变换化二次型为标准形的方法．
二 主要内容
1． 向量的内积、长度和正交性 (1) 设有n维向量
?x1???xx??2?,??????xn?向量x与向量y的内积定义为
?y1???yy??2?．
??????yn??x,y??x1y1???xnyn?xTy?yTx.
内积满足下列运算规律（其中x,y,z为n维向量，?为实数）: ① ?x,y???y,x?． ② ??x,y????x,y?． ③ ?x?y,z???x,z???y,z?．
④ [x,y]?[x,x][y,y] (许瓦兹不等式)． (2) 向量x的长度为
22||x||?[x,x]?x12?x2???xn.
2向量的长度具有下述性质:
① 非负性：当x?0时，x?0，当x?0时，x?0. ② 齐次性：
?x??x.
③ 三角不等式：x?y?x?y.
(3) 当?x,y??0时，称向量x与y正交(即几何上的垂直) ． (4) 两两正交的非零向量所组成的向量组称为正交向量组．
性质：正交向量组必定线性无关．
(5) 正交向量组组成的向量空间的基称为正交基．
设n维向量e1,e2,?,er是向量空间V(V?R)的一个基，如果e1,e2,?,er两两正交，且都是单位向量，则称e1,e2,?,er是V的一个正交规范基．若e1,e2,?,er是V的一个正交规范基，那么V中任一个向量?应能由e1,e2,?,er线性表示，设表示式为
n???1e1??2e2????rer，
其中
?i?eiT??[?,ei]．
(6) 把线性无关向量组?1,?2,?,?r正交规范化的步骤如下：
① 正交化： 取
bk??k?② 单位化： 取
[b1,?k][b,?][b,?]． b1?2kb2???k?1kbk?1（k?2,?,r）
[b1,b1][b2,b2][bk?1,bk?1]e1?T111b1,e2?b2,?,er?br． b1b2br?1T(7) 如果n阶方阵A满足AA?E(即A?A)，称A为正交矩阵．
正交矩阵有以下性质：
① 正交矩阵的行列式等于1或-1． ② 如果A是正交矩阵，则A?A．
?1T③ 如果A是正交矩阵，则A也是正交矩阵． ④ 如果A,B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵．
⑤ 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列（行）向量都是两两正交的，且为单位向量．
(8) 若P为正交矩阵，则线性变换Y?PX称为正交变换．
正交变换有下面的性质： ① 正交变换不改变向量的长度．
② 正交变换保持两向量的内积不变，从而保持两向量间的夹角不变． 2． 方阵的特征值与特征向量
(1) 设A为n阶方阵，如果数?和n维非零列向量x使关系式
?1Ax??x
成立，数?称为方阵A的特征值，非零列向量x称为A的对应于特征值?的特征向量．
方阵的特征值与特征向量具有下面的性质： ① 方阵A与A有相同的特征值．
② 设n阶方阵A?(aij)的特征值为?1,?2,?,?n，则
T?1??2????n?a11?a22???ann；
?1?2??n?|A|．
其中a11?a22???ann称为A的迹，记作tr(A)，即tr(A)=a11?a22???ann．
③ 不同的特征值所对应的特征向量线性无关． (2) 求已知方阵A的特征值和特征向量：
① 由特征方程A??E?0，求出的所有特征值（重根按重数算）．
② 齐次线性方程组?A??E?X?0所有的非零解便是?所对应的全部特征向量． (3) 特征值的运算性质:
?1① 若A为逆矩阵，?为A的特征值，则??0，且1?为A的特征值．
② 若?为A的特征值，则?k为A的特征值，????为A的多项式??A?的特征值，其
k中??X?为任意多项式．
(4) 当特征值?为单根时，?只对应一个线性无关的特征向量；当?是k重特征值，?对应的线性无关的特征向量的个数小于等于k． 3． 相似矩阵与矩阵的对角化
(1) 设A,B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使PAP?B，则称A,B相似，对A进行运算PAP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变为B的相似变换矩阵．
相似矩阵有下面的性质：
① 如果A,B相似，则A,B的行列式、秩、特征多项式、迹、特征值相等．
?1?1??1????2?，则?,?,?,?是A的n个② 若n阶方阵A相似于对角阵???12n???????N?特征值．
(2) 如果n阶矩阵与对角矩阵相似，称A可对角化．
对角化的两个相关的结论：
①n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量． ②如果n阶矩阵A有n个互不相等的特征值，则A一定可以对角化． (3) 判断给定矩阵A可否对角化：
① 先由A??E?0求出所有的特征值，若特征值互异，则可对角化．否则
② 由?A??E?X?0求出每个特征值所对应的线性无关的特征向量，依据线性无关的特征向量的个数来判断可否对角化(可对角化的充要条件)．或者利用齐次线性方程组
?A??E?X?0的重要结论RA?RS?n来判断?所对应的线性无关的特征向量的个数．
4． 实对称矩阵的相似矩阵 (1) 实对称矩阵的性质：
①对称矩阵的特征值均为实数． ② 不同特征值对应的特征向量正交．
③ 设A为n阶对称阵，?是A的特征方程的r重根，则R(A??E)?n?r，从而对应特征值?恰有r个线性无关的特征向量．
(2) 设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使PAP?PAP??，其中?是以A的n个特征值为对角元素的对角阵．
(3) 用正交矩阵化实对称矩阵A为对角阵的步骤如下：
① 求A的特征值，注意n阶矩阵共有n个特征根（重根按重数算）．
②对每个特征值，求其对应的线性无关的特征向量，并将其正交化、单位化． ③用上述得到的n个特征向量作为列向量构造矩阵P，则P就是要求的正交矩阵． 5． 二次型及其标准形
(1) 含有n个变量x1,x2,?,xn的二次齐次函数
222f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a22x2???annxn?2a12x1x2
?1T ?2a13x1x3???2an?1,nxn?1xn.
称为二次型．取aij?aji，则2aijxixj?aijxixj?ajixjxi，于是二次型可表示为
?a11?a21?f?(x1,x2,?,xn)?...??an1
a12a22...an2?a1n??x1?
????a2n??x2??xTAx.......????????ann??xn?矩阵A为对称矩阵，叫做二次型f的矩阵，A的秩称为二次型f的秩． (2) 只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）． (3) 设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵C，使
B?CTAC.
则称A合同于B，或称A,B合同．
合同具有下面的性质： ① 合同变换不改变矩阵的秩． ② 合同变换不改变矩阵的对称性． (4) 任给二次型f?i,j?1?anijxixj(aij?aji)，总有正交变换X?PY，使f化为标准形
222f??1y1??2y2????nyn.