~?an??0????0??00an?00???00??an?0????. ??an?1??0??a1?a2?取xn为自由未知量，并令xn?an，设x1?a1,x2?a2,?xn?1?an?1．故基础解系为
?a1???na2??P1?，于是?1??ai2所对应的全部特征向量为x?k1p1,k1为不等于零的任意实数． ???i?1???an?当?2??3????n?0时，
?a12?a2a1?A?0?E???????aa?n1可得基础解系
a1a2?a1an??a1??2a2?a2an??0~???????2?ana2?an??0a2?an??0?0?.????0?0?
??an???a2???a3???????0a01??????P2??0?,P3??a1?,?,Pn??0?.
????????????????0??0??a??????1?因此?2??3????n?0所对应的全部特征向量为x?k2P2???knPn，其中k2,?,kn为不同时为零的任意实数．
例7 假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明 （1）（2）
1?1为A的特征值; ?|A|?为A的伴随矩阵A的特征值．
* 分析 本题需从已知矩阵的特征值推出所求矩阵的特征值． 证明 法一：（1）已知A可逆(|A|?0及??0），可得
|E??A?1|?(??)n|A?1?即|A??11?E|?0.
1?E|?0,所以
1?1是A的特征值． ?（2）同理，由A?1?1*A及上述特征方程，得 |A|?1 0?|A?1?E|?|1*11|A|*A?E|?|A?E|. |A|?|A|n?从而
|A|?是A的特征值．
?1*法二：（1）因为A????，等式两端同时左乘A，得???A?1?，即
A?1??由定义知
1??.
1?1是A的特征值． ??1 （2）因A?1*A，所以 |A| ?即
?1*?1A????.
??|A|?A*??所以
|A|??.
|A|?是A的特征值．
*?1*注 方阵A的特征值和A，A，f?A?的特征值之间的对应关系，特征值和行列式的关系对于求解有关特征值问题是非常重要的，要灵活地应用这些结论．
例８ 设4阶方阵A满足条件|2I?A|?0,AAT?2I,|A|?0，其中I是4阶单位阵，求方阵A的伴随矩阵A的一个特征值．
解 由|2I?A|?|A?(?2)I|?0，得A的一个特征值???2．由条件可知
*|A|2?|AAT|?|2I|?24|I|?16,|A|?0,|A|??4.
由于A?0，A可逆，由逆阵的特征值的性质可知，?*?1又A?|A|A，故22是A的一个特征值．
*12是A的特征值．
?1?001???例９ 设矩阵A??a1b?有3个线性无关的特征向量，求a,b应满足的条件．
?100???解 计算知A??E?????1?2???1?，故A的特征值为?1??2?1,?3??1．对应于
?1??2?1的线性无关的特征向量的个数应为2，故A?E的秩为1(齐次线性方程组的重要
结论R?A??RS?n)．于是有
1???10?00a?b?A?E?????． ?000???知a?b?0．
例10 设矩阵A满足A?E，证明3E?A可逆．
证明 因A?E，于是A的特征值只能为1或是-1，故3不是A的特征值，从而3E?A可逆．
注 用矩阵A的特征值证明kE?A可逆或不可逆，只需证常数k不是或者是A的特征值． 若k是A的特征值，则kE?A不可逆；若k不是A的特征值，则kE?A可逆． 例11 设A为正交阵，若A??1，则?E?A不可逆．
分析 本题不知道A的特征值，待证-1是A的特征值，这种题往往需要恒等变形证明．
TT证明 ?E?A??AA?A?A(?A?E)
22?A?AT?E?A?A?E???E?A.
从而?E?A?0，即?E?A不可逆．
例12 设A,B都是n阶方阵，且A?0，证明AB与BA相似．
分析 根据相似的定义，就是要找到P使PABP?BA即可．由已知条件A?0提示我
?1们A可逆，自然考虑A能否满足要求．显然取P?A，则有A?AB?A?BA，这样就证
?1明了结论．本题属于构造性的，考察洞察力． 证明 因为A?0，故A存在．又A?1?1?AB?A?BA，这说明AB与BA相似．
?200??200?????例13 已知矩阵A??001?与B??0y0?相似，
?01x??00?1?????(1) 求x与y；
(2) 求一个满足PAP?B的可逆矩阵P．
分析 (1)是用矩阵相似的概念及性质以确定矩阵中所含的参数x,y．由于相似矩阵有相同的特征值，故可由此确定所求的x,y．在讨论问题(2)时，要看到矩阵B是对角矩阵，所以要求可逆矩阵P，只需求出矩阵A的特征向量即可． 解 (1) 法一: 因A和B相似，所以有
|A??E|?|B??E|. 即
2??000??101x??2???000y??000?1???1.
亦即
(2??)(?2?x?)?(2??)(y??)(?1??).
比较等式两端的系数，得x?0,y?1.
法二: 用特征值的性质来确定x,y.因为矩阵B是对角矩阵，所以2,y,?1即是B也是
A的特征值，由?aii???i得2?x?1?y．又由A???i，得?2??2y．所以
i?1i?1333i?1y?1,x?0．这个解法更简单一些．
(2) 由(1)知矩阵A的特征值为2,1,?1．
当?1?2时，由
?000??x1???x??0,
(A??1E)x??0?21???2???01?2????x3??解得?1?(1,0,0)T，即为对应于?1?2的一个线性无关的特征向量．
当?2?1时，由
?100??x1???x??0
0?11?A??2E?x?????2???01?1????x3??解得对应于?2?1的一个线性无关的特征向量?2?(0,1,1)T.
当?3??1时，由
?100??x1???x??0011?A??3E?x?????2???011????x3??解得对应于?3??1的一个线性无关的特征向量?3?(0,1,?1)T. 令
?100??.
P??011????01?1??因为矩阵A的特征值互不相同，所以对应的特征向量?1,?2,?3线性无关，从而矩阵P可逆且满足PAP?B． 例14 设
?1??4?100??
A??130???61??3? 求A100．
分析 计算矩阵高次幂问题，我们在第二章已经有所讨论，这里我们采用相似变换的方法，即可以通过相似变换把A化成对角阵，也就是A?P?P，其中??diag{?1,?2,...,?n},而A100?1?P?100P?1.
解 先求A的特征值与特征向量．因为
|A??E|?(??2)(??1)(1??).
所以A的特征值?1??2,?2??3?1. 对于?1??2，由