故?1?0,?2?4,?3?9．
（2）因为A为实对称矩阵，A一定能与某个对角矩阵相似，即存在正交矩阵P使
?0???P?1AP?PTAP????4?.
?9???令X?PY，得到
22f?XTAX?YTPTAPY?YT?Y?4y2?9y3.
22原方程变为f?4y2?9y3?1，正交变换不改变曲面的类型，这表明原曲面为椭圆柱面．
四 自测题
1．填空题
(1) 设A为n阶矩阵，A?0，A为A的伴随矩阵，E为n阶单位阵．若A有特征值?，则A????2?E必有特征值 ．
??(2) 设4阶方阵A满足3E?A?0，AA?2E,A?0，则A的一个特征值为 ． (3) 设A?A，则A的特征值为 ．
(4) 已知3阶矩阵A?E,A?2E,2A?E为奇异矩阵，则A? ．
3?110?(5) 已知二次型的系数矩阵为A??1k0?，且二次型正定，则k应满足的条件 ．
??2??00k???2???3?，则R(E?A2)= ． (6) 设A等价于对角形矩阵????1???1??222(7) 二次型f?a(x1?x2?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变换X?PY可化为标准形2，则a? ． f?6y1(8) 已知A,B相似，A的特征值为1，2，3，则B?E? ． (9)设n阶矩阵
?1?bA??????b2． 选择题
(1) 若A,B相似，则有（ ）．
b1?b????b??b?, ???1?则A的全部特征值为 ．
A．?E?A??E?B； B．A?B；
C． 对于?，A,B有相同的特征向量； D． A,B均与同一个对角矩阵相似． （2）?1,?2都是矩阵A的特征值，?1??2，且x1与x2分别是对应于?1,?2的特征向量，则． x1，A?x1?x2?线性无关的充要条件是（ ）
Ａ． ?1?0； Ｂ． ?2?0； Ｃ． ?1?0； Ｄ． ?2?0．
(3) 设A为n阶矩阵，将A的第i行与第j行互换后，再将第i列与第j列互换，得到矩阵
B，则结论：A,B等秩；A,B等价；A,B相似；A?B中成立的有（ ）个．
A． 1； B． 2； C． 3； D． 4． (4) 0是n阶矩阵A的特征值的充要条件是（ ）．
A． A的任意一个行向量均可以被其余向量线性表示；B． A?0,m为正整数；
2C. 齐次线性方程组Ax?0有非零解； D． A满足方程A?2A．
m(5) 实二次型f?XAX为正定的充要条件是（ ）．
A． A?0； B． 负惯性指数为零；
TX取最小值．C． A的所有特征值的最小值为某个正数； D． 对任意的X?0，有XA
T3． 计算题
(1) 设３阶对称矩阵A的特征值是1， 2， 3，矩阵A的属于特征值1， 2的特征向量分别是?1???1,?1,1?,?2??1,?2,?1?,
① 求A的属于特征值3的特征向量； ② 求矩阵A．
TT2???12??(2) 设A?2?1?2， ????2?2?1??① 试求矩阵A的特征值；
② 利用①的结果求矩阵E?A的特征值，其中E是3阶单位矩阵． (3) 已知二次曲面方程
?1x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4
可以经过正交变换
?x???????? y?P??????z????????化为椭圆柱面方程?2?4?2?4,求a,b的值和正交矩阵P．
(4) 设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A?2A?0，已知A的秩r(A)?2．
① 求A的全部特征值；
② 当k为何值时，矩阵A?kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
2?12?3???(5) 设矩阵A???14?3?的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似
?1a5???对角化． 4． 证明题
（1）设A为2n?1阶正交矩阵且|A|?1,证明：A一定有特征值1． （2）设A为n阶实对称矩阵，且
A?3A?5A?3E?0 证明：A正定．
（3） 已知二次型f?XAX矩阵的特征值的最大和最小值分别为?,?， 证明：?XX?XAX??XX．
TTTT32五 自测题答案或提示
21．(1) (|A|/?)?1. (2) .4(3) 0或1或-1．
3
(4) 1． (5) k?1． (6) 2．
(7) 2． (8) 24． (9) ?1?1?(n?1)b,?2??3????n?1?b． 2． (1) B．(2) D．(3) D．(4) C．(5) C．
3． (1)解 ①A的属于特征值3的特征向量为?3?k?1,0,1?（k为任意非零常数）；
T?13?25?1?? ②A???2102?
6?313??5?(2) 解 A的特征值：1，1，-5，(E?A?1)的特征值为2，2，4/5． ?1b1??0?????(3) 解 由?ba1?与?1? 相似得
?111??4???????1 ?b?1解得a?3,b?1.
?b??a?1?1??1???1.
??1??4对应于特征值?1?0的单位特征向量为x1?(11T,0,?). 22111T,?,). 333121T,,). 666对应于特征值?2?1的单位特征向量为x2?(对应于特征值?3?4的单位特征向量为x3?(因此
?1??2?P??0??1??2?131?3131??6?2??. 6?1??6?(4)解 ①A的一个特征值，对应的特征向量为?，则
A????,(??0)，A2?????．
222于是(A?2A)??(??2?)?．由条件A?2A?0推知(?2?2?)??0．又由于??0，
故有?2?2??0，解得???2,??0．
??2????2因为实对称矩阵A必相似于对角阵，且r(A)?2，所以A~????.因此，矩?0???阵A的全部特征值为?1??2??2,?3?0．
② 由①可知，A?kE的特征值为?2?k,?2?k,k，于是当矩阵A?kE的全部特征根大于零，即k?2时，因此A为正定矩阵．
2(5) 解 A??E?????2???8??18?3a?0
??若二重根为2，则3a??6，a??2.此时
??12?3??1?23?????A?2E???12?3???000?
?1?23??000?????因为R?A?2E??1，对应2个线性无关的特征向量，故可以相似于对角阵．
2当18?3a?16,a??时，4为二重特征值，此时
3?103???A?4E??013?
?000???R(A?4E)，仅有一个线性无关的特征向量，不能相似于对角阵．
4．(1) 证明
|A?E|?A?AAT?AE?AT?AE?A?E?A???1?得
?2n?1?|A?E|．
A?E?0.
即1是A的特征值．
(2) 证明 A的特征值?满足方程?3?3?2?5??3?0，解方程可得??1,??1?2i．实对称矩阵A的特征值为实的，故??1?0为A的全部特征值，故A正定． (3) 证明 A为实对称矩阵，则有一正交变换X?PY，使得
2f?XTAX??YTPTAPY??1y12????nyn.
成立．其中?1,?,?n为A的特征值，不妨设?最大，?最小． 由于正交变换不改变向量的长度，于是有
222 ?XTX??(y12?...?yn)?f??1y12??2y2?...??nyn22 ??(y1?...?yn)??XTX．
故得证．