其中?1,?2,?,?n是A的特征值．
(5) 用正交变换化二次型为标准形的步骤如下：
① 写出二次型f的矩阵A．
② 求出A的全部特征值，以及属于每个特征值的线性无关的特征向量．
③ 用施密特正交化方法，将线性无关的特征向量正交化、单位化，得到n个相互正交的单位特征向量．
④ 以上述得到的n个相互正交的单位特征向量为列向量，作n阶矩阵P，X?PY即为所求的正交变换．
在所求的正交变换X?PY下，二次型f?xTAx化为标准形
222f??1y1??2y2????ryr.
其中?1,?2,?,?r为实对称矩阵A的特征值，r为二次型f的秩． 6． 正定二次型
(1) 设有实二次型f?xTAx，它的秩为r， 有两个实的可逆变换
x?Cy使
及x?Pz
222f?k1y1?k2y2???kryr(ki?0).
及
222f??1z1??2z2????rzr(?i?0).
则k1,?,kr中正数的个数与?1,?2,?,?r中正数的个数相等．其中正数的个数称为二次型的正惯性指数，负数的个数称为二次型的负惯性指数．
T(2) 设有二次型f(x)?xAx，如果对任何x?0都有f(x)?0（显然f(0)?0），则称f为
正定二次型，并称对称矩阵A是正定的，记作A?0；如果对任何x?0都有f(x)?0，则称f为负定二次型，并称对称矩阵A是负定的，记作A?0． (3) 实二次型f(x)?xAx的正定性的相关结论：
① 实二次型f(x)?xAx为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正；
TT② 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正；
③ 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正，即
a11a21a12a22a11?0,...,.........a1n...?0(r?1,2,?,n).
a11?0,an1...ann对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，即
a11(?1)r...ar1.........a1r...?0,(r?1,2,?,n). arr三 例题解析
例1 已知n?n?5?维向量
?1?(?1,1,0,?,0),?2?(?1,0,1,0,?,0)?3?(?1,0,0,1,?,0)， ?4?(?1,0,0,0,1,0,?,0),试用施密特正交化过程将其正交．
解
?1??1?(?1,1,0,0,?,0). ?2??2?[?2,?1]11?1?(?,?,1,0,?,0).
[?1,?1]22[?3,?1][?,?]111?1?32?2?(?,?,?,1,0,?,0).
[?1,?1][?2,?2]333[?,?][?4,?1][?,?]1111?1?41?2?43?3?(?,?,?,?,1,0,?,0).
4444[?1,?1][?2,?2][?3,?3]2?3??3??4??4?例2 （许瓦兹不等式）设?,?是两个n维实向量，证明：[?,?]?[?,?][?,?]. 证 对于任何实数t有
0?[??t?,??t?]?[?,?]?2[?,?]t?[?,?]t2.
因此判别式小于0，即
??4[?,?]?4[?,?][?,?]?0. 亦即
2[?,?]2?[?,?][?,?].
例3 求一个单位向量与?1?(1,1,?1,1),?2?(1,?1,?1,1)，?3?(2,1,1,3)正交．
分析 若已知部分（正交）向量组，在求另一个向量与之正交，则需利用齐次线性方程组求解．
解 设所求向量为??(x1,x2,x3,x4)，则由
?[?,?1]?x1?x2?x3?x4?0??[?,?2]?x1?x2?x3?x4?0?[?,?]?2x?x?x?3x?031234?得其一个基础解系为(4,0,1,?3)，单位化后得
.
??例4 填空题
1(4,0,1,?3). 26(1) 已知３阶方阵A的三个特征值为1，-2，3，则A? ，A的特征值为 ，
?1A2?2A?E的特征值为 ．
分析 本题考查的是方阵的特征值的运算性质，要灵活运用这些性质．
解 由?1?2??n?|A|（?1,?2,?,?n为A的特征值）可知A??6．如果A的特征值为?，则1?是A的特征值，因此A的特征值为1，-1/2，1/3．不难证明，若?为A的特征值，
?1?1f?A?为A的矩阵多项式，则f???为f?A?的特征值，由此可知，A2?2A?E的特征值
为4，1，16．
(2) 若n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a?a?0?，则数 一定是矩阵2A?3E?1的特征值（E为n阶单位阵）．
解 因为A的各行元素之和是a，a为A的一个特征值，于是
1?1为A的一个特征值，故a2?1?3为2A?3E的一个特征值． a例5 选择题
?110???(1) 设矩阵C??101? ，则C的特征值是（ ）．
?011???A．1，0，1； B．1，1，2 ； C．-1，1，2； D．-1，1，1．
解 判断这四个选项中哪一组数是C的特征值，直接的方法是通过计算求出C的特征值．另一个方法，即把数0，-1，2代入C的特征方程看是否使其为0（四个选项中都有数1，所以是特征值可以不再验算）．再者也可以用排除法．因为
????aii?1i?133ii?2 故可排除B，D；
又因
??i?13i（请读者自行计算）应选C． ?|C|??2,所以可排除A．
(2) A是３阶方阵，特征值为1，-2，4，则下列矩阵中，（ ）是满秩矩阵． Ａ．E?A； B．A?2E； C．2E?A； D．A?4E．
解 满秩阵即非奇异阵，也就是可逆矩阵．因2E?A?0（2不是A的特征值），故选C． (3) 若X是矩阵A的对应于特征值?0的特征向量，则矩阵PAP对应于?0的特征向量为（ ）．
Ａ．PX； Ｂ．PX； Ｃ．PX； Ｄ．X．
?1?1?1?1解 因为PAPPX?PAP??0PX，由特征向量的定义可知，应选A．
?1?1T??例6 求下列矩阵的特征值和特征向量:
?a1????123????a2?（1）?213?. （2）???a1a2?an??a1?0?
??336??????a??n?1??解（1）A??E?21??333???(??1)(??9). 6??23故A的特征值为?1?0,?2??1,?3?9．
当?1?0时，解方程Ax?0，由
?123??123?????A??213?~?011?.
?336??000???????1???得基础解系P1???1?，故k1P1(k1?0)是对应于?1?0的全部特征向量．
?1???当?2??1时，解方程(A?E)x?0，由
?223??223?????A?E??223?~?001?.
?337??000???????1???得基础解系P2??1?，故k2P2(k2?0)是对应于?2??1的全部特征向量．
?0???当?3?9时，解方程(A?9E)x?0，由
?11?1???823???1????A?9E??2?83?~01?.
2??33?3?????000????1??2?得基础解系P3??1?，故k3P3(k3?0)是对应于?3?9的全部特征向量．
?2??1???(2)
a12??aaA??E?21?ana1a1a2?a1ana2an ?2a2?????ana22?an??22 ???1?n??n??n?1(a12?a2???an)? 22 ???1?n?n?1???(a12?a2???an)?. n??1?2a1?2a2???2an??ai?12i，?2??3????n?0．
当?1??ai?1n2i时，
222??a2?a3???an??a2a1?A??1E??????ana1?a1a2222?a1?a3???an?ana2????a2an?
???222???a1?a2???an?1??a1an