??1??2（3）设A???????2??,B??????3???3??TP,PAP?B，其中则存在可逆阵，使得??1??P = ．
分析 本题主要考察合同变换的效果分析．
解 将A的第一列与第三列对换后，再将第一列与第二列对换再对行作相同的对换即得B，则P可由单位阵E将第一列与第三列对换后再将第一与第二列对换得到
?010???P??001?.
?100??? 例23 求一正交变换X?PY，化二次型
222 f?x1?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
为标准形．
分析 这是一个常规计算题，按如下的步骤做即可：
（1）写出二次型的矩阵形式，注意对非平方项xixj的系数应取其一半作为aij； （2）求二次型的矩阵的特征值和特征向量；
（3）把特征向量正交规范化，写出正交矩阵P及正交变换； （4）写出二次型的标准形．
?1?22??x1?????解 (1) f?x1,x2,x3???x1,x2,x3???24?4??x2?
?2?44??x????3?（2）由
A??E??????????8????8?0??
得矩阵的特征值 ?1??2?0,?3?9. 对于?1??2?0,由
?1?22??x1??????24?4???x2??0 ?2?44??x????3?解得线性无关特征向量?1??2,1,0?,?2???2,0,1?.
TT 对于?3?9，由
??8?22??x1???????2?5?4??x2??0 ?2?4?5??x????3?解得?3??1?2,2?.
(3)先正交化：取?1??1??2,1,0?,
TT??2??2???2?(?,?)???4?1??1?4?.
?2??2?22?1??0??5??5??(?1?1)????1???0???5???2???2??1?1??1??1??1,??4,???2?. 再单位化，得?1?类似有23?????3??35??5??50???2???以?1,?2,?3为列向量，构成正交矩阵
???? P??????及正交变换X?PY．
(4)二次型f化为
25150?2354355351?3??2???． 3?2?3??2f?9y3．
222例24 已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形222f?y1?2y2?5y3,求参数a，及所用的正交变换矩阵．
解
?200??x1?????f?x1,x2,x3???x1,x2,x3??03a??x2?
?0a3??x????3??200??100?????由题意有?03a?相似于?020?，两边取行列式，解得a?2．
?0a3??005??????0??100??x1?????????1时， ?022??x2??0，解得?1??1?. ?022??x???1????3????1??000??x1?????????2时， ?012??x2??0，解得?2??0?. ?021??x??0????3????0?0??x1???30????????5时， ?0?22??x2??0，解得?3??1?. ?0???1?2?2????x3???因不同特征值对应的特征向量相互正交，故?1,?2,?3是正交向量组，单位化后得到
?0??0?1??1??1,???,?? ?1?23?2?1?. 2?2??1??1?????故所求正交变换矩阵
?01?P??12???1例25 判别下列二次型的正定性：
222(1)f??2x1?6x2?4x3?2x1x2?2x1x3;；
20??01?. 01??2222(2) f?x1?3x2?9x3?19x4?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4.
1???21??解 (1) A??1?60?，
?10?4???a11??2?0，
?21?211?11?0，1?60??38?0， ?610?41故f为负定．
?1?121????130?3?， (2) A???209?6???1?3?619??1?121?121?1a11?1?0，?4?0，?130?6?0?130?6?0，|A|?24?0．
?13209209故f为正定．
例26 证明：二次型f?XTAX在X?1时的最大值为矩阵A的最大特征值． 证明 A为实对称矩阵，则有一正交变换X?PY，使得
2f?XTAX??YTPTAPY?YT?Y??1y12????nyn.
成立．其中?1,?,?n为A的特征值，不妨设?1最大．
当X?PY?Y?1时，
222f?YT?Y??1y12??2y2?...??nyn??1(y12???yn)??1.
故得证．
TT例27 设U为可逆矩阵，A?UU，证明:f?XAX为正定二次型．
证明 将A?UU代入二次型得到
Tf?XTAX?XTUTUX?(UX)T(UX).
因为U为可逆矩阵，对于X?0，有UX?0，因此有
f?(UX)T(UX)?||UX||2?0.
即二次型为正定二次型．
例28 设对称矩阵A为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵U，使A?UTU． 证明 设A为对称正定矩阵，故存在正交矩阵P，使
P?1AP??,A?P?P?1.
其中
??1????2?，(??0)． ???i??????n??记
?1/2??1????????2?????. ??n??则A可表示为
A?P?1?P?PT?1/2?1/2P?UTU.
其中U??P为可逆矩阵． 例29 已知二次型
222f(x1,x2,x3)?5x1?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3.
1/2的秩为2，
(1) 求参数c及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面．
分析 二次型的秩就是对应矩阵的秩，矩阵是3阶矩阵而秩是2，因此对应的行列式为零，由此可确定参数c．通过二次型的标准形可以看出方程所表示的曲面． 解（1）此二次型所对应的矩阵为
?5?13??.
A???15?3????3?3c??5由|A|??1?1335?3?0，解得c?3．
?3c把c?3代入，求矩阵的特征值
??5|?E?A|?1?31?33??(??4)(??9)?0. ??3??53